Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

4.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 69Ejemplo 61 L = {0 i2 /i ≥ 1} no es regular. Asuma que L es regular y sea N la constante del lema debombeo. Considere:z = 0 N 2 ∈ LPor el lema de bombeo z puede ser reescrito como uvw, en que |uv| ≤ N, |v| ≥ 1 y uv i w debierapertenecer a L, para todo i ≥ 0. En particular considere i = 2, entonces comoN 2 < |uv 2 w| ≤ N 2 + N < (N + 1) 2esto es, la longitud de uv 2 w está entre N 2 y (N + 1) 2 y, por lo tanto, no es un cuadrado perfecto; quieredecir que uv 2 w no pertenece a L. Una contradicción. Se concluye entonces que L no es regular.Ejemplo 62 L = {a i b i /i ≥ 1} no es regular. Asuma que L es regular y sea N la constante del lema debombeo. Considere:z = a N b N ∈ LPor el lema de bombeo, z puede ser reescrito como uvw, en que |uv| ≤ N y |v| ≥ 1, es decir v es unstring de a’s de la forma✷v = a kcon 1 ≤ k ≤ NSegún el lema de bombeo, el stringz ′ = uv 2 wdebiera pertenecer a L. Sin embargo,z ′ = a N+k b N (1 ≤ k ≤ N)y, por lo tanto, no tiene igual número de a’s que de b’s, es decir, no pertenece a L. Una contradicción. Seconcluye que L no es un lenguaje regular.✷4.2 Propiedades de ClausuraHay muchas operaciones entre lenguajes que conservan a los lenguajes regulares, en el sentido que la operaciónaplicada a lenguajes regulares produce un lenguaje regular.Por ejemplo, la unión de dos conjuntos regulares es un conjunto regular, ya que si r 1 y r 2 son expresionesregulares describiendo los lenguajes regulares L 1 y L 2 , entonces r 1 + r 2 describe L 1 ∪ L 2 , por lo tanto launión es también regular. Similarmente, la concatenación de conjuntos regulares y la clausura de Kleene deun lenguaje regular es regular.Si una clase de lenguajes es cerrada bajo una cierta operación, ese hecho es llamado una propiedad declausura de esa clase de lenguajes. Se está particularmente interesado en propiedades de clausura efectivas,en que dado descriptores de los lenguajes en la clase, hay un algoritmo para construir una representación parael lenguaje que resulta de aplicar la operación a esos lenguajes. Por ejemplo, se acaba de dar un algoritmopara construir expresiones regulares para la unión de dos lenguajes descritos por expresiones regulares, porlo tanto, la clase de conjuntos regulares es efectivamente cerrada bajo la unión.Debe observarse que las equivalencias entre autómatas finitos de distinto tipo y expresiones regulares,mostradas en el capítulo anterior, fueron equivalencias efectivas en el sentido que se dieron algoritmos parapasar de una representación a otra.