Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

70 CHAPTER 4. PROPIEDADES DE LOS LENGUAJES REGULARESTeorema 10 Los conjuntos regulares son cerrados bajo unión, concatenación y clausura de Kleene.Demostración :Inmediata de la definición de expresiones regulares.Teorema 11 La clase de los conjuntos regulares es cerrada bajo complementación. Esto es, si L es regulary L ⊆ Σ ∗ , entonces Σ ∗ − L es un conjunto regular.Demostración : Sea M = (Q, Σ 1 , δ, q 0 , F ) un AFD que acepta L ⊆ Σ ∗ . Se puede asumir que Σ 1 = Σ porquesi hay símbolos en Σ 1 que no pertenecen a Σ es posible eliminar las transiciones de M en los símbolos que∉ Σ, el hecho que L ⊆ Σ ∗ asegura que no se está cambiando L(M). Si hay símbolos en Σ que no están enΣ 1 , ninguno de ellos puede aparecer en strings de L, por lo tanto se puede agregar un estado “sumidero” Sen M con δ(q, a) = S, para todo q ∈ Q y a ∈ Σ − Σ 1 y con δ(S, a) = S para todo a ∈ Σ.Para aceptar Σ ∗ − L basta complementar los estados finales de M, esto es, sea M ′ = (Q, Σ, δ, q 0 , Q − F ),entonces M ′ acepta un string w si y sólo si M no lo acepta, es decir, si y sólo si w ∈ Σ ∗ − L. Nótese que esesencial en la construcción que M sea determinístico.Teorema 12 La clase de los conjuntos regulares es cerrada bajo intersección.✷✷Demostración :De la teoría de conjuntos se sabe que la siguiente relación se cumple:L 1 ∩ L 2 = L 1 ∪ L 2por lo tanto, la clausura bajo intersección es inmediata después de las clausuras bajo unión y complementación.Vale la pena notar que existe una construcción directa para el AFD que acepta la intersección de doslenguajes regulares: Sean M 1 = (Q 1 , Σ, δ 1 , q 1 , F 1 ) y M 2 = (Q 2 , Σ, δ 2 , q 2 , F 2 ) dos AFD, se construyeM = (Q 1 × Q 2 , Σ, δ, [q 1 , q 2 ] , F 1 × F 2 )en que para todo p 1 ∈ Q 1 , p 2 ∈ Q 2 y a ∈ Σ, se tieneδ([p 1 , p 2 ] , a) = [δ 1 (p 1 , a), δ 2 (p 2 , a)]es fácil mostrar que L M = L(M 1 ) ∩ L(M 2 ).La clase de los lenguajes regulares tiene la propiedad de ser cerrada bajo sustitución en el siguiente sentido.Por cada símbolo a en el alfabeto de algún conjunto regular R, sea R a un conjunto regular. Suponga que sereemplaza cada string en R, a 1 a 2 . . . a N , por el conjunto de palabras de la forma w 1 w 2 . . . w N en que los w ison palabras de R ai . El resultado es también un lenguaje regular.Formalmente, una sustitución f es una función desde un alfabeto Σ a 2 ∆∗ , para algún alfabeto ∆. Esdecir, f asocia un lenguaje con cada símbolo de Σ. La sustitución se extiende a strings de la siguiente forma:• f(ε) = ε• f(xa) = f(x)f(a)y se extiende a lenguajes por• f(L) = ∪ w∈L f(w)✷