Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

7.4. LENGUAJES Y FUNCIONES COMPUTABLES 123Si la máquina de Turing se detiene, aceptando o no, con una cinta que consiste de 0 M (para algún M),entonces se dice que f(i 1 , i 2 , . . . , i k ) = M, en que f es la función de k argumentos que computa esa máquinade Turing. Nótese que una única MT puede computar una función de un argumento, una diferente de dosargumentos, etcétera. También debe notarse que si una MT, M, computa una función de k argumentos, noes necesario que f tenga un valor para todas las diferentes k-tuplas de enteros que sean posibles argumentos.Si f(i 1 , i 2 , . . . , i k ) está definida para toda tupla (i 1 , i 2 , . . . , i k ), entonces se dice que es una función recursivatotal. Una función f(i 1 , i 2 , . . . , i k ) computada por una máquina de Turing es llamada una funciónrecursiva parcial. En cierto sentido, las funciones recursivas parciales son análogas a los lenguajes enumerablesrecursivamente, ya que son computadas por MT que pueden o no detenerse en ciertos inputs. Lasfunciones recursivas totales corresponden a los lenguajes recursivos, ya que son computadas por máquinasque siempre se detienen. Todas las funciones aritméticas comunes en enteros, tales como multiplicación, n!y 2 N , son funciones recursivas totales.Ejemplo 87 La sustracción propia, m o −n, se define de la siguiente forma: m o −n = m − n si m ≥ n0 si m < nLa siguiente máquina de Turing, inicialmente con el string 0 m 10 n en su cinta, se detiene con el string0 m o −n en ella.M = ({q 0 , q 1 , . . . , q 6 }, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q 0 , B, {q 6 })M reemplaza repetidamente el primer 0 por blanco y luego busca hacia la derecha un 1 seguido de un 0,y cambia el 0 por un 1. Luego, M se mueve a la izquierda hasta que encuentra un blanco y entonces repiteel ciclo. La repetición termina si:(i) Buscando un 0 hacia la derecha, se encuentra un blanco. En ese caso, los n 0’s de 0 m 10 n han sidocambiados a 1’s y n + 1 de los m 0’s a B. M reemplaza entonces los n + 1 1’s por un 0 y n blancos,dejando m − n 0’s en la cinta.(ii) Al comenzar el ciclo, M no encuentra un 0 que cambiar por un blanco, ya que los primeros m 0’s hansido cambiados. Entonces n ≥ m y, por lo tanto, m . − n = 0. En ese caso, M reemplaza todos los 1’sy 0’s que queden por blancos.La función de transición δ se describe a continuación:1. δ(q 0 , 0) = (q 1 , B, D).Comienza el ciclo reemplazando el cero inicial por un blanco.2. δ(q 1 , 0) = (q 1 , 0, D).δ(q 1 , 1) = (q 2 , 1, D).Se mueve hacia la derecha buscando el primer 1.3. δ(q 2 , 1) = (q 2 , 1, D).δ(q 2 , 0) = (q 3 , 1, I).Busca sobre los primeros 1’s hasta encontrar un 0; lo cambia a un 1.4. δ(q 3 , 1) = (q 3 , 1, I).δ(q 3 , 0) = (q 3 , 0, I).δ(q 3 , B) = (q 0 , B, D).Se mueve a la izquierda hasta un blanco y entra q 0 para repetir ciclo.