Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

90 CHAPTER 5. ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTO ✷Ejemplo 74 Considere la gramáticaS → AB|aA → aPor el primer lema, se nota que ningún string de terminales es derivable de B. Por lo tanto se elimina By la producción S → AB, con lo que quedaS → aA → aAplicándole el segundo lema, sólo S y a aparecen en formas sentenciales. Por lo tanto, ({S}, {a},{S → a}, S) es una gramática equivalente sin símbolos inútiles.Si se hubiera aplicado primero el segundo lema a la gramática original, se hubiera deducido que todos lossímbolos aparecen en formas sentenciales. Aplicando luego el primer lema, se hubiese obtenido la segundagramática, que aún tiene un símbolo inútil, A.Se verá ahora cómo eliminar producciones de la forma A → ε, llamadas producciones vacías (ε-productions).Es claro que si ε ∈ L(G), no es posible eliminar todas las producciones vacías de G, pero siε ∉ L(G), esto es posible. El método consiste en determinar, para cada variable A, si es posible que A⇒ε,∗en cuyo caso se dice que A es anulable. Es posible reemplazar cada producción B → X 1 X 2 . . . X n por todaslas producciones que se forman al eliminar algún subconjunto de aquellos X i ’s que son anulables, pero sinincluir B → ε, aún cuando todos los X i sean anulables.Teorema 19 Si L = L(G) para alguna gramática libre de contexto G = (V, T, P, S), entonces L−ε es L(G ′ )para alguna gramática libre de contexto, G ′ , sin símbolos inútiles ni producciones vacías.Demostración : Es posible determinar los símbolos anulables de G con el siguiente algoritmo. Si A → εes una producción, entonces A es anulable. Si B → α es una producción y todos los símbolos de α sonanulables, entonces B es anulable. Este proceso se repite hasta que ningún otro símbolo anulable pueda serencontrado.El conjunto de producciones P ′ se construye como sigue. Si A → X 1 X 2 . . . X n está en P , agregue a P ′todas las producciones A → α 1 α 2 . . . α n , donde• si X i no es anulable, entonces α i = X i• si X i es anulable, entonces α i es X i o ε• no todos los α i ’s son εSea G ′′ = (V, T, P, S). Se mostrará que para todo A ∈ V y w ∈ T ∗ , A⇒ ∗ G ′′w ssi w ∉ ε y A⇒ ∗ G w.Sea A⇒ i G w y w ∉ ε. Se prueba, por inducción en i, que A⇒ ∗ G ′w. La base, i = 1, es trivial, pues A → wdebe ser una producción en P . Dado que w ∉ ε, también es una producción en P ′ . Para la inducción, seai > 1. Entonces A ⇒ i−1∗GX 1 X 2 . . . X n ⇒ G w. Sea w = w 1 w 2 . . . w n , tal que para cada j, X j⇒wj en menos de i∗pasos. Si w j ≠ ε y X j es una variable, entonces por la hipótesis de inducción se tiene X j⇒ G ′′w j . Si w j = εentonces X j es anulable. Por lo tanto, A → β 1 β 2 . . . β n es una producción en P ′ , con β j = X j si w j ≠ ε yβ j = ε si w j = ε. Como w ≠ ε no todos los β j son ε. Por lo tanto se tiene una derivaciónA ⇒ β 1 β 2 . . . β n∗⇒w1 β 2 . . . β n∗⇒w1 w 2 . . . β n∗⇒ . . .∗⇒w1 w 2 . . . w n = wen G ′′ . Es decir, A ∗ ⇒ G ′′w.Suponga ahora que A i ⇒ G ′′w. Con toda seguridad w ≠ ε ya que G ′′ no tiene producciones vacías. Semuestra por inducción en i que A ∗ ⇒ G w. Para la base, i = 1, observe que A → w está en P ′ . Debe haber una✷