Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

16 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICASEjemplo 9 Se calcula los seis primeros números de la serie de Fibonacci (f 0 , . . . , f 5 ), empleando la definicióndada en el Ejemplo 8 para esta secuencia.f 0 = 0 f 3 = f 2 + f 1 = 2f 1 = 1 f 4 = f 3 + f 2 = 3f 2 = f 1 + f 0 = 1 f 5 = f 4 + f 3 = 5Es usual que cuando se trata de probar propiedades de entes que han sido definidos inductivamente,lo más conveniente sea utilizar, precisamente, el principio de inducción. Esto se debe a que la definicióncoincide apropiadamente con la división que se hace entre el caso básico y el paso inductivo en este método,facilitando, en consecuencia, la demostración.Ejemplo 10 Se demuestra que la siguiente relación, entre números de Fibonacci, se cumple para todonúmero natural n, mayor o igual a uno:f 2 n = f n−1 ∗ f n+1 + (−1) n+1La demostración se hará por inducción completa en n, sobre los números naturales, a partir del número uno.Base (n = 1): En este caso se tiene: f n−1 ∗ f n+1 + (−1) n+1 = f 0 ∗ f 2 + (−1) 2 = 0 ∗ 1 + 1 = 1. Por otro lado,fn 2 = f 1 2 = 1. Es decir, para n = 1 la relación se cumple, como se quería probar.Inducción (n ≥ 1): La hipótesis de inducción asegura que f 2 k = f k−1 ∗ f k+1 + (−1) k+1 , para todo númeronatural k, entre 1 y n, ambos inclusive. Se desea mostrar que esta desigualdad también se cumple paran + 1; es decir, quef 2 n+1 = f n ∗ f n+2 + (−1) n+2La demostración del paso inductivo se hará en dos partes. Primero se verá el caso en que n = 1 y,posteriormente, el caso en que n ≥ 2.Caso 1 (n = 1): En este caso se tiene: f n ∗ f n+2 + (−1) n+2 = f 1 ∗ f 3 + (−1) 3 = 1 ∗ 2 − 1 = 1. Por otrolado, se tiene f 2 2 = 1, también; como se deseaba probar.Caso 2 (n ≥ 2): En este caso se tiene,fn+1 2 = (f n + f n−1 ) 2 (definición, pues n + 1 > 1)= fn 2 + 2f n f n−1 + fn−1 2 (cuadrado de binomio)= fn 2 + 2f n f n−1 + f n−2 f n + (−1) n (hipótesis, con k = n − 1 ≥ 1)= f n (f n + f n−1 + f n−1 + f n−2 ) + (−1) n= f n (f n+1 + f n ) + (−1) n (definición, pues n + 1 > n > 1)= f n f n+2 + (−1) n+2 (definición, pues n + 2 > 1)como se deseaba mostrar.Luego, por el principio de inducción matemática, se concluye que la relación se cumple para todos losnúmeros naturales mayores o iguales a 1. Es importante destacar que fue necesario dividir el paso inductivoen dos partes, pues cuando n = 1 no es lícito hacer referencia a f n−2 , ya que no existe, ni tampoco esaplicable la hipótesis de inducción para f n−1 , pues sólo es aplicable entre la base y n, no para f 0 , valor parael cual no tiene sentido por lo demás.En un análisis más profundo, toda demostración de una propiedad de los números enteros se basa, de unau otra manera, en el principio de inducción matemática, ya que si se va a los conceptos básicos, los númerosenteros mismos están definidos esencialmente en forma inductiva. Aunque no se mencionó explícitamente,ésto ha ocurrido también en las pruebas por inducción de los primeros ejemplos de esta sección. En formaimplícita , se han usado definiciones inductivas de la suma, producto, potencia y de los números naturalesmismos, lo que contribuye a efectuar estas demostraciones por inducción.✷✷