Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

7.6. HIPÓTESIS DE CHURCH 129especial de una máquina con varias cintas y, por lo tanto, no es más poderosa que ninguno de los modelosvistos. Al revés, una MT off-line puede simular cualquier MT, M, usando una cinta más que M. Lo primeroque hará es copiar su input en esta cinta extra y simular a M como si ella fuera el input de M.7.6 Hipótesis de ChurchLa suposición de que la noción intuitiva de “función computable” puede identificarse con la clase de funcionesrecursivas parciales, es conocida como la Hipótesis de Church o la Tesis de Church-Turing.Aún cuando no se puede esperar tener una “prueba” de la hipótesis de Church, al menos mientras lanoción informal de “computable” permanezca como noción informal, es sin embargo posible dar evidenciade porqué es una suposición rezonable.Si nuestra noción intuitiva de “computable” no posee límite en el número de pasos o la cantidad dealmacenamiento necesaria, parece que las funciones recursivas parciales son (intuitivamente) computables.Aún cuando alguien podría argüir que una función no es “computable”, a menos que se pueda limitar lacomputación de antemano, o al menos saber si ella terminará o no.Lo que es más discutible es si la clase de funciones recursivas parciales incluye a todas las funcionescomputables. Los lógicos-matemáticos han presentado muchos otros formalismos, como el cálculo-λ, sistemasde Post y funciones recursivas generales. Para todos ellos se ha demostrado que definen la misma clase defunciones, es decir las funciones recursivas parciales. Además, modelos abstractos de los computadores comola RAM (Random Access Machine) dan también lugar a las funciones recursivas parciales.La RAM consiste de un número infinito de palabras de memoria, numeradas desde 0, cada una de lascuales puede almacenar un número entero; y un número finito de registros aritméticos, también capacesde almacenar un entero. Los enteros pueden ser decodificados como instrucciones en la forma usual de loscomputadores. No se definirá la RAM más formalmente, pero debiera ser claro que si se escoge un conjuntoadecuado de instrucciones, la RAM puede simular cualquier computador existente.Teorema 39 Una máquina de Turing puede simular una RAM, provisto que las instrucciones de la RAMpuedan ser simuladas por una MT.Demostración : Se usa una MT, M, de varias cintas para hacer la simulación. Una cinta de M tiene laspalabras de memoria de la RAM, a las que se les ha dado valores. La cinta se ve como#0 ∗ v 0 #1 ∗ v 1 #10 ∗ v 2 # . . . #i ∗ v i # . . .en que v i es el contenido, en binario, de la i- ésima palabra. En todo momento, habrá algún número finito depalabras de la RAM que han sido usadas y M sólo necesita mantener los valores hasta la palabra de númeromayor que se haya usado.La RAM tiene un número finito de registros aritméticos. M usa una cinta para almacenar el contenidode cada registro; otra cinta contiene el “contador de posición”, que contiene el número de la palabra dememoria de donde se debe tomar la próxima instrucción y una cinta “memory address register” en que sepuede poner el número de una palabra de memoria.Supóngase que los primeros 10 bits de una instrucción denotan una de las operaciones estándar en loscomputadores, como load, store, add, etc., y que los bits restantes denotan la dirección del operando. Sibien no se discutirá los detalles de implementación para todas las instrucciones estándar, un ejemplo debieraponer las cosas claras. Supóngase que la cinta con el contador de posición tiene el número i en binario. Mbusca en su primera cinta desde la izquierda, buscando #i∗. Si se encuentra un blanco antes de encontrar#i∗, no hay instrucción en la palabra i y, por lo tanto, la RAM y M se detienen. Si #i∗ es encontrado, losbits que siguen a *, hasta el siguiente # (v i ) se examinan. Suponga que los primeros 10 bits están codificadospara add al registro 2 y los bits restantes son un cierto número j en binario. M agrega 1 a i en el contadorde posición y copia j en la “memory address register”. Luego M busca #j∗ en la primera cinta, comenzandodesde la izquierda (#0∗ marca el final por la izquierda). Si #j∗ no se encuentra, se supone que j tiene 0 y