Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Partie A._________________________________________________________________Seuil linéaire ou seuil d' oscillation ?La relation (I-16) est souvent appelée abusivement "condition d' oscillation" (nousrediscutons ce point au chapitre suivant). Le seuil d' instabilité de la position d' équilibre (appeléseuil linéaire dans ce document) n' est pas automatiquement le seuil d' oscillation. C' esteffectivement le seuil d' oscillation s' il existe des petites oscillations stables (le plus souventquasi-sinusoïdales) qui tendent vers 0 en P + s . Nous vérifions ci-dessous, dans le cas particulierdu modèle élémentaire "basses fréquences", que la fréquence de jeu tend alors vers la fréquencede seuil f s en P s+.Nous effectuons un bilan d' énergie réactive sur une période d' une oscillation périodiquesolution du modèle élémentaire "basses fréquences" (méthode appliquée par Boutillon , 1991,aux instruments à corde frottée). Il s' agit de calculer l' intégrale Udp sur une période pour unsignal en régime permanent. Cette intégrale est évaluée en décomposant pression p et débit Uen série de Fourier :Tζp(t)U(t)⎡ + ⎤jn t= Re⎢∑ ∞ ωpne⎥,p1∈ R,n > 1p n ∈ C⎢⎣n = 1 ⎥⎦⎡ +∞ ⎤ ⎡ +∞jnωt= Re⎢∑Une⎥=Re⎢∑pnY(jnω)e⎢⎣n = 1 ⎥⎦⎢⎣n = 1jnωt⎤⎥,U⎥⎦netY( jnω)∈ C(I-19)(I-20)Dans le cadre du modèle élémentaire basses fréquences, U(t) et p(t) sont reliés par unerelation non-linéaire instantanée, l' intégrale à calculer sur une période est donc nulle. Uncalcul direct à partir de la relation linéaire de type admittance entre les harmoniques du débitet de la pression implique :∑ ∞n = 1Im[ Y( jnω)]2n p n = 0(I-21)qui peut être réécrite :Im[ Y( jω)] + Im[ Y( jnω)]∑ ∞n = 2pnp2n01=(I-22)Notons que l' équation (I-22) ci-dessus est une condition nécessaire d' existence d' un régimepériodique ; elle n' est pas suffisante. S' il existe des petites oscillations quasi-sinusoïdales enP s+, la relation (I-22) s' écrit simplement :__________________________________________________________________________30