Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Partie B.___________________________________________________________________________IV.4. Réponses en fréquences des diverses techniques numériques stables.Afin de connaître les différents comportements des méthodes de discrétisation énumérées,nous nous intéressons à comparer les réponses en fréquence des divers filtres discrets stablesavec la réponse en fréquence du filtre analogique à simuler. Une telle comparaison permettraalors d' isoler une méthode numérique aboutissant à une anche discrète dont la raideur, lafréquence propre et l' amortissement ont des valeurs proches de leurs homologues analytiques.Le principe général de cette étude est le suivant : à partir des équations aux différencesrégissant le comportement de divers filtres discrets, l' utilisation de la transformée en z permetde connaître les réponses en fréquence de ces filtres en posant z = e jω∆ T , et de les comparer àla réponse du filtre analogique.IV.4.1. Evaluation des fonctions de transfert discrètes.Nous présentons ici les fonctions de transfert discrètes des méthodes stables énuméréesprécédemment en considérant que l' entrée de ces filtres est p[n], les sorties ξ a n et U a [n].Formule d' Adams à l' ordre 1.A partir de l' équation (II-21), la matrice de transfert discrète s' écrit :H 1 (z) AD1−1= ∆T.⎡I.(1− z−) − ∆T.M ⎤ .z−1⎢⎣a(II-29).⎥⎦Les fonctions de transfert discrètes de la position et du débit de l' anche s' écriventrespectivement :HAD1ξaξ(z) =a (z)p(z)1=µ az−12⎡ 1 g z1a (1−1−z− ⎤ − )⎢ ⎥ ++ ω2T ∆Ta⎢ ∆⎣⎥⎦(II-30),HAD1UaU (z) S z−1(1 z1)(z)a a−−= =(II-31).p(z) µ a 12⎡1− z− ⎤⎢⎣ ⎥⎦+ g z1) T2a (1 −−+ ∆ ω∆TaTransformation bilinéaire.Cette technique permet d' établir une équivalence entre les domaines analogiques etdiscrets. Celle-ci s' écrit :_________________________________________________________________________70