Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Instruments à anche simple, revue bibliographique._________________________________________________________________Remarque : cette notion de correction de longueur, due a l' admittance d' anche et à l' admittancedu générateur, s' avère très importante pour définir l' écart existant entre fréquence de seuil etfréquence de résonance du résonateur de l' instrument, connue par le calcul ou la mesure. Ellepermet donc de caractériser globalement l' effet de l' embouchure du musicien,indépendamment de la fréquence au seuil linéaire. Il est cependant difficile d' estimer la partrelative des deux causes ci-dessus sur la correction de longueur globale.III.3. Petites oscillations.L' analyse de la stabilité linéaire (stabilité locale) de la position d' équilibre ne permet pas demontrer l' existence ni de caractériser des régimes auto-oscillants périodiques. Une premièreapproche pour aborder ce point est d' analyser le comportement du système non-linéaire auvoisinage du seuil linéaire par un calcul de "petites oscillations".Hypothèses et principe du calcul "petites oscillations".On analyse les régimes permanents périodiques au voisinage du seuil linéaire dans le cadred' un modèle élémentaire basses fréquences. Ces régimes sont caractérisés par une pressionacoustique p(t) (équation I-19) et un débit U(t) (équation I-20). La non-linéarité est supposéedéveloppable en série de Taylor autour de la pression de seuil (équation I-31) :[ ( t)]U(t) = NL p = a ∞∑i=1ii∂ NLi p (t) où ai= ( )i∂pP a = P s(I-31)La conjonction des relations (I-19), (I-20) et (I-31) aboutit après identification terme àterme de chacun des harmoniques de la pression, à une série infinie d' équations reliant lapression p(t) au débit U(t). Divers auteurs (Benade et Gans, 1968 ; Worman 1971 ; Fletcher,1979 ; Elliot et Bowsher, 1982) ont exposé cette série infinie d' équations. Sous cette forme,elles ne sont en général pas soluble analytiquement. Cependant pour de faibles amplitudes, ilest possible de supposer que la série de Fourier de p(t) converge rapidement (série dominé parses premier termes). Worman (1971) a développé de tels calculs à l' ordre 3 et a calculé lespetites oscillations quasi-harmoniques correspondantes.Grand (1994) a repris récemment ce calcul et a vérifié que l' existence même de cesoscillations quasi-sinusoïdales au voisinage du seuil, n' est pas systématique. Nous résumonsci-dessous, certains résultats essentiels de ce calcul en les appliquant au modèle élémentairebasses fréquences. Les résultats extraits de Grand (1994) sont transposés à nos notations.__________________________________________________________________________35