Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Partie B.___________________________________________________________________________& & & && & k + k + k + kX n = X n − 1 +1 2 3 4 , où (II-19)6&k&k&k&k1234& &= ∆T.F X n& ⎧ &= ∆T.F⎨X n⎩& ⎧ &= ∆T.F⎨X n⎩&= ∆T.F X n{ [ −1 ],(n−1)∆T}[ −1][ −1]&k11 ⎫+ ,(n − ) ∆T⎬2 2 ⎭&k 2 1 ⎫+ ,(n − ) ∆T⎬2 2 ⎭& &{ [ −1]+ k , n∆T}3Ce mode de résolution, parfaitement adapté aux fonctions & F explicitement connues enfonction de la variable t, nous impose une évaluation de F & à l' instant (n-1/2). ∆T. Nous faisonsalors l' approximation :& && ⎡ 1⎤P nP⎢n − ≈⎣ 2⎥⎦ 2[ ] + P[ n −1](II-20).IV.1.2. Méthode d' Adams à l' ordre 1.Les méthodes ou formules d' Adams peuvent être des formules dites "ouvertes" ou"fermées". Les formules ouvertes expriment l' inconnue X & n en fonction de X & n −1 et de& &F{ X[ n −1 ],(n−1)∆T}alors que les formules fermées expriment X & n en fonction de X & n −1& &F X n ,n∆T. Il s' avère que, pour les expressions ouvertes, la détermination de X & n estet de [ ]{ }explicite, alors qu' elle devient implicite pour les expressions fermées. Pour ces dernières, une& &F X n ,n∆T, a priori inconnue à l' instant n∆T, est indispensable. Cetteévaluation de [ ]{ }évaluation peut se faire à l' aide d' une formule ouverte : dans ce cas, on parlera de méthodes deprédiction correction (Nougier, 1987 ; Press, 1986). L' utilisation des formules ouvertes oufermées est alors un compromis entre un faible temps de calcul accompagné d' un éventuelproblème de stabilité et un grand temps de calcul permettant de travailler avec des méthodesstables.En ce qui concerne la résolution de l' équation différentielle (II-15), il est possible d' utiliserles formules "fermées", à priori plus stables (Nougier, 1987), sans évaluer au préalable le& &F X n ,n∆T. En effet ce terme est une simple combinaison linéaire de X & n , qui peutterme [ ]{ }être calculé analytiquement comme suit pour la formule du premier ordre (Formule d' Euler) :66_________________________________________________________________________