Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Simulations numériques des instruments à anche simple.___________________________________________________________________________&X n&X n&{ }[ ] = X[ n −1] + ∆T.F X[ n],n∆T , soit&&−1−1[ ] = (I + ∆T.M) .X[ n −1] + ∆T.(I+ ∆T.M) .P[ n −1]a&&a(II-21).Dans l' expression (II-21) ci-dessus, I représente la matrice unité.IV.2. La modélisation de l' anche vue comme un filtre linéaire.Du point de vue du traitement de signal, l' équation (II-13) représente un filtre linéaire dontla réponse impulsionnelle est la transformée inverse de Laplace de :Ha( p) = pI − Ma−1(II-22).ξ( p)Cette matrice de transfert peut donner naissance à deux fonctions de transfert Haξ( p)= a p( p)U pet H pa ( )aU ( ) = qui représentent respectivement le comportement de la position et dua p( p)débit de l' anche en fonction de la pression acoustique dans le bec. A l' aide de techniquesissues du traitement du signal numérique, ces deux fonctions de transfert peuvent êtretransformées en filtres à réponse impulsionnelle infinies (R.I.I.). La technique la plus utiliséepour réaliser une telle opération est la transformation bilinéaire exposée ci-dessous. D' autrestechniques, telles que la méthode de l' échantillonnage de la réponse impulsionnelle ou del' équivalence de la dérivée, qui ne sont pas utilisées pour la simulation exposée dans cettepartie, sont présentées à l' annexe B de ce mémoire de façon à évaluer les biais qu' elles peuventintroduire lors d' une telle simulation.Principe de la transformation bilinéaire.La transformation bilinéaire consiste à intégrer l' équation différentielle (II-13) et à calculer,par une technique d' intégration numérique, l' intégrale obtenue. L' équation (II-13) peut s' écriresous la forme intégrale suivante :∫n∆T(n−1)∆T&dX(t) =∫n∆T(n−1)∆TMa&.X(t).dt +∫n∆T(n−1)∆T&P(t)dt(II-23).Le membre de droite peut être calculé à l' aide de la méthode des trapèzes. Une approximationde l' équation (II-23) s' écrit alors :& &∆T& && &X[ n] − X[ n −1] = Ma X[ n] + X[ n −1]−22∆T{ } + { P[ n] + P[ n 1]}(II-24)._________________________________________________________________________67