Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Simulations numériques des instruments à anche simple.___________________________________________________________________________où⎛1 ⎞⎜ 0 ⎟M a = ⎜ Sa⎟ et⎜ 2 ⎟⎝−Saωa− ga⎠⎛ ⎞=⎜ S ⎟a p(t0P & (t) )⎜ ⎟.⎝ µ a ⎠L' équation (II-15) ci-dessus peut alors être résolue à l' aide des techniques classiques àcondition que la fonction F & X &( t) soit explicitement connue à chaque instant t. La fonction F&dépendant de P & ( t), variable a priori inconnue à l' instant t ( nous ne résolvons pas un problèmed' oscillations forcées mais d' auto-oscillations), l' équation (II-15) est facilement résolue dans ledomaine discret à condition de faire l' approximation (Schumacher, 1981) :&P n&≈ P n −1 (II-16).Dans ce cas, l' équation (II-15) devient, à l' instant ∆T n :&dX(t)dtt = n∆T& &= F X n{ [ ],n∆T} = M .X[ n] + P[ n −1]a&&(II-17)Cette approximation est équivalente à l' application d' un filtre de réponseHapprox. ( z ) = z−1 au système discret étudié, c' est-à-dire à une "rotation" de phase artificielle.La réponse fréquentielle de l' anche discrète obtenue après approximation Halors s' écrire:approxjω. ( e ) peutjω jω − jω∆THapprox. ( e ) = Hd( e ). e(II-18)où Hd(II-16).jω( e )est la réponse fréquentielle de l' anche numérique obtenue sans l' approximationLes techniques les plus classiques permettant de résoudre ce problème, rencontrées dansla littérature appliquée aux instruments à vent, sont la méthode de Runge-Kutta d' ordre 4(Barjau et Agullo, 1989 ; Pavageau, 1993) et la méthode d' Euler appelée aussi méthoded' Adams à l' ordre 1 (Schumacher, 1981). Afin de ne pas aborder l' étude d' une multitude deméthodes numériques, nous ne présentons ci-dessous que ces deux techniques numériques,qui conduisent à des solutions du type ξa n = ξa et U a n = Ua, qualifiées d' explicites0 0(elles ne dépendent pas de la variable p[n]).IV.1.1. Méthode de Runge-Kutta d' ordre 4.Cette technique permet de connaître la valeur de X & à l' instant n∆T à partir de l' échantillon&X n −1 . Elle s' exprime sous la forme (Nougier, 1987 ; Press, 1986) :_________________________________________________________________________65