Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Simulations numériques des instruments à anche simple.___________________________________________________________________________−12 1+zl' intervalle [0,F ech /2]. Oppenheim (1975) montre, à l' aide de l' équivalence s = , que−1∆T1−zles fréquences discrètes ω discret et analogiques ω analog sont reliées par (cf. Figure II-10) :ωdiscret=⎡ωarctan⎢∆T⎣2 analog2∆T⎤⎥⎦(II-36).5000Asymptote: f= Fech/2.Fréquence"numérique" [Hz]400030002000100000 5000 10000 15000 20000Fréquence analogique [Hz]Figure II-10 : courbe de distorsion due à latransformation bilinéaire (d' aprèsOppenheim, 1975). Exemple : si la fréquencepropre de l' anche analogique estω a = 20000 rad / s (3183 Hz), celle del' anche discrète est ω d = 15708 rad / s (2500Hz) pour F ech = 10 kHz.L' équation (II-36) ci-dessus, représentant la compression induite par la transformationbilinéaire, montre que le filtre numérique (l' anche discrète) diffère toujours du filtreanalogique (l' anche vue comme un oscillateur harmonique). Les coefficients ω d , µ d , g dreprésentant respectivement la fréquence propre, la masse surfacique et l' amortissement del' anche discrète différent alors de leurs homologues analytiques ω a , µ a , g a . Nous proposonsd' analyser l' effet de la transformation bilinéaire sur ces trois coefficients.Effet de la transformation bilinéaire sur la fréquence propre de l' anche discrète.Les fréquences propres des anches discrète et analogique, respectivement notées ωd et ωa ,sont reliées par l' équation (II-36) ci-dessus. La fréquence propre de l' anche discrète est alorstoujours inférieure à celle de l' anche analogique. Ce phénomène est illustré à la figure (II-11a).Fréquence proprede l'anche discrète [Hz]3500300025002000150010005003183 Hz06000 20000Fréquence d'échantillonnage [Hz]Figure II-11a: Evolution de lafréquence propre de l' anche discrète enfonction de la fréquenced' échantillonnage. Les paramètres del' anche analogique sont :ω a = 20000 rad / s (3183 Hz),µ = 0, 0231 kg / m , g = 3000 sa2a-1_________________________________________________________________________73