Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Partie B.___________________________________________________________________________IV.3. Stabilité des diverses méthodes numériques.Les méthodes de résolution ou de discrétisation exposées au § IV.1.1. et § IV.1.2. doiventpermettre de construire un système discret (anche numérique) dont les caractéristiques(raideur, fréquence propre, ...) sont les plus proches possibles de celles du système analogiqueà reproduire. Sachant que le système analogique étudié est un oscillateur harmonique à undegré de liberté, celui-ci est un système stable. Le système numérique simulant lecomportement de cet oscillateur doit donc être stable. Nous consacrons ainsi les quelqueslignes qui suivent à une étude de la stabilité des divers schémas numériques exposésprécédemment.La première technique permettant d' étudier la stabilité d' un système discret est la suivante.En écrivant l' équation du système discret sous la forme d' un filtre représenté par :& & &X n + 1 = T. X n + E n(II-25)où T est la matrice de transition et E & le terme d' excitation, le calcul des pôles de ce filtre(c' est-à-dire les valeurs propres de la matrice T) permet de déterminer si la méthodenumérique étudiée est stable. En effet, si le module de ces pôles est inférieur à l' unité, le filtreéquivalent est stable (Oppenheim, 1975).IV.3.1. Stabilité des méthodes de résolution des équations différentielles.Méthode de Runge-Kutta.L' équation (II-18) décrivant le processus de résolution peut s' écrire sous la forme :& & &X n + 1 = T. X n + E n(II-26)23∆T T Toù T I T M M2 ∆= + a + a + M3 ∆∆ .a + M4a et E & est une fonction des variables&2 6 24P n −1 et P & n − 2 . Les valeurs propres de la matrice T s' écrivent :42 3 4λpi λi λii = 1+ λ i + + +λλ122 6 24g 2 g= ∆T.( −a− j. ωa−a)2 4g 2 g= ∆T.( −a+ j. ωa−a)2 422i = 1,2.(II-27)68_________________________________________________________________________