Caractérisation objective de la qualité de justesse, de timbre et d ...

Instruments à anche simple, revue bibliographique._________________________________________________________________automatique non-linéaire (la présence d' un filtre passe-bas à fréquence de coupure compriseentre les deux premières harmoniques du signal y est la justification de l' hypothèse sinusoïdaledu signal de sortie).Notons que Fletcher (1978) a utilisé une autre méthode asymptotique de recherche dessolutions de systèmes non-linéaires : la méthode à variation lente de la phase (dite de KrylovBogoliubov).Un cas particulier : le résonateur à deux résonancesSi les méthodes numériques permettent a priori de calculer les régimes périodiques d' unsystème quelconque, le résultat final obtenu après convergence va dépendre de l' état initial duprocessus. Pour maîtriser ce genre de méthode il est bon d' avoir une connaissance mêmequalitative des solutions recherchées par une approche analytique. Ceci n' est possible que dansdes cas particuliers. Nous traitons un exemple ci-dessous, à savoir le cas du modèleélémentaire basse fréquence avec un résonateur linéaire à deux fréquences de résonance quasiharmoniques; nous supposons de plus le signal de pression (relation I-50) exactement égal àla somme de ses deux premiers harmoniques (Grand et coll., 1994b).jωt j2ωtp( t) = Re p e + p e avec p p ejϕ = , p = p . (I-50)1 22 2 1 1La combinaison des deux relations du modèle basse fréquence (équations I-11) et de ladéfinition de la pression acoustique (relation I-50) aboutit à un système de 4 équations à 4inconnues réelles (ω, |p1|, module et argument de p2). Après élimination de la solutionsingulière (p1=p2=0), il vient :3A + p2 Bcosϕ+ C p1 + 2 p2 4= Y1°(I-51a)ωp2 Bsin ϕ = Y1 ° 2Q1( − 1)ω(I-51b)A + p p B + 3cosϕ C 2 p 1 2 + p 2 2 = Y 224°1 2 21(I-51c)pp B Y 2 Q 2ωsin ϕ = − ° 2 2 ( − 1)(I-51d)2ω1 2 22Dans le cas des résonances harmoniques (ω 2 =2ω 1 ), on vérifie que la fréquence de jeu del' oscillation est ω=ω 1 . Après simplification du système d' équations (I-51), la rechercheexplicite des couples {p1,p2} solutions se résume à la résolution d' une équation du troisièmedegré en p 2 . Pour une pression d' alimentation P a donnée, le nombre de solutions de cetteéquation dépend des caractéristiques de la non-linéarité et des résonances, vérifiant en cela lesconclusions du "calcul petites oscillations" (figure I-12). S' il existe des petites oscillations au__________________________________________________________________________41