87_knyha

Алгоритм застосування методу інтервалів
P(
x)
I крок. Представте нерівність у виді 0 , де P (x)
і Q (x)
многочлени,
Q(
x)
якщо Q(x)1, то маємо нерівність x
0
II крок. Розгляньте функцію
P .
P(
x)
f x
. Щоб розв’язати раціональну нерівність
Q(
x)
P(
x)
0
Q(
x)
необxідно дослідити функцію
x
y f на знакосталість, для цього :
1) знайдіть область визначення функції;
2) знайдіть нулі функції;
3) отриманими нулями розбийте область визначення на проміжки;
4) визначте знак функції на кожному з проміжків, обчисливши значення
функції в будь-якій точці цього проміжку;
5) об’єднайте проміжки, на яких функція f(x) задовольняє нерівність, у
множину розв’язків.
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність:
x
3x
1 x 2
2
x
2
x
1 x
3
1)
0; 2)
3
Розв’язання
1) Розглянемо функцію x x
3x
1 x 2
f .
202
0;
Знайдемо область визначення функції: D f R .
x 1
3)
x 3
x
x
4
.
3
Позначимо нулі функції x ; x 2; x 3 на координатній прямій. Нерівність
1
1
2 3
строга, отже ці точки будуть виколоті.
Точки розбивають область визначення функції на проміжки знакосталості.
Досліджуємо знак функції на кожному з проміжків (для цього використовуємо
довільні «пробні точки»).
При x > 2 розглянемо f 4 7 3
2 0, тому x 0
f на цьому проміжку;
при 1< x < 2 з’ясуємо знак f 1 ,5 4,5 0,5
0,5 0 , тому x 0
при -3 < x < 1 розглянемо f 0 31
2 0 , тому x 0
при x < -3 з’ясуємо знак f
4 1
5
6 0 , тому x 0
f на цьому проміжку;
f на цьому проміжку;
f на цьому проміжку.