87_knyha

40
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Зведені квадратні рівняння. Теорема Вієта
Якщо перший коефіцієнт a квадратного рівняння дорівнює 1, то
рівняння називають зведеним і записують у вигляді x 2 + px+ q= 0 .
Замінивши у формулі коренів квадратного рівняння a на 1, b на p,
c на q, отримаємо формулу коренів зведеного квадратного рівняння:
x
1,2
− p± p −4q
= .
2
2
Приклад 3. Розв’яжіть зведене квадратне рівняння x
2 + x− 12 = 0 .
Розв’язання
За формулою коренів зведеного квадратного рівняння
2 2
− p± p −4q
− 1± 1 + 4⋅12 − 1±
7
x1,2
= = = , x
1
=− 4 , x
2
= 3
2 2 2
Відповідь: –4; 3.
Для зведеного квадратного рівняння існує залежність між його коренями
та коефіцієнтами, що виражається теоремою Вієта:
Якщо числа х 1 і х 2 є коренями зведеного квадратного рівняння
2
x + px+ q= 0, то їхній добуток дорівнює вільному члену, а сума дорівнює
другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.
Тобто x1⋅ x2
= q і x 1
+ x 2
= − p .
Безпосередньо з теореми Вієта випливають два наступні наслідки.
Нехай x
1
та x
2
корені зведеного квадратного рівняння
2
x + px+ q= 0 , тоді:
1) якщо вільний член рівняння q > 0 , то його корені мають однакові
знаки, а саме – знаки, протилежні знаку другого коефіцієнта р;
2) якщо вільний член рівняння q < 0 , то його корені мають протилежні
знаки, причому знак більшого з них за модулем, протилежний
до знаку другого коефіцієнта р.
Приклад 4. Визначить знаки коренів рівняння:
2
1) x − 5x+ 6= 0; 3) x
2 −x− 12 = 0 ;
2
2) x + 6x+ 5= 0; 4) x
2 + 3x− 10= 0.
Розв’язання
2
1) x − 5x+ 6= 0. Оскільки вільний член q = 6 додатний, а другий
коефіцієнт p = – 5 від’ємний, то обидва корені додатні.
2
2) x + 6x+ 5= 0. Оскільки і вільний член q = 5, і другий коефіцієнт
p = 6 додатні, то обидва корені від’ємні.