87_knyha

x
2y,
2
x
2yx
2y
2
x
y,
3
2
x
2xy
2y
2
2
6;
6;
Відповідь: (2; 1), (−2; −1).
x
2y,
2 2 2
4y
4y
2y
6;
2
x
y,
3
4
2 4 2 2
y y 2y
6,
9 3
228
x
2y,
2
y
1;
2
x
y,
3
2
y
27
0;
x
2,
y
1;
x
2,
y
1.
Многочлен з двома змінними х і у називається симетричним, якщо при
заміні х на у, а у на х він не змінюється. Многочлени x + y і xy називають
основними симетричними многочленами з двома змінними. Розглянемо
спосіб розв’язання систем, що містять симетричні многочлени:
2 2 3 3
x
y ; xy;
x y ; x y .
Приклад 3. Розв’язати систему рівнянь: x y 1,
xy 2.
Розв'язання
І спосіб
Виразимо у через х з першого рівняння, підставимо знайдений вираз для
у у друге рівняння та розв’яжемо квадратне рівняння з одним невідомим.
ІІ спосіб
Використаємо формули Вієта. Для цього будемо вважати, що х і у – корені
деякого допоміжного квадратного рівняння t 2 + pt + q = 0 із змінною t.
Коефіцієнти р і q визначаються з умови задачі за допомогою формул Вієта: p =
−(x + y) = 1 та q = xy = −2.
Допоміжне рівняння має вигляд t 2 + t −2 = 0.
Його корені: t 1 = −2 і t 2 = 1. Ці корені дають дві пари (x; y), що задовольняють
вихідну систему рівнянь, а саме (−2; 1) і (1; −2).
Зверніть увагу, що разом з розв’язком (−2; 1) ми одержали і
“симетричний” йому розв’язок (1; −2). Це зумовлено тим, що вихідна система
рівнянь містила лише симетричні рівняння.
Відповідь: (−2; 1) і (1; −2).
Приклад 4. Розв’яжіть систему рівнянь
2 2
x y xy 13,
xy x y 7.