Dissertation Mollenhauer.pdf

E
Dämpfer
σa
σa
= =
ε σ
a a
= λ ⋅ ω = λ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f
Gleichung 2.12
λ ⋅ ω
2.4.3.4 Dehnungsfunktion eines Maxwell-Modells
Die Dehnungsreaktion des Maxwell-Modells ergibt sich aus der Addition der
Dehnungsanteile einer Feder und eines Dämpfers in Reihenschaltung.
Die Addition zweier Schwingungen mit unterschiedlichen konstanten Anteilen (A,a),
Amplituden (B,b) und Phasenverschiebungen (C,c) (vgl. Gl. 2.13 und Gl 2.14) erfolgt
gemäß Gleichung 2.15:
f(t) = A + B ⋅ sin ( t + C) Gleichung 2.13
g(t) = a + b ⋅ sin ( t + c) Gleichung 2.14
f
( t) + g( t) = A + B ⋅ sin( t + C) + a + b ⋅ sin( t + c)
= A + a +
B
2
+ b
2
+ 2 ⋅B
⋅b
⋅cos
( C − c)
⎛
⋅ sin
⎜
t + arc cos
⎜
⎝
B
2
B ⋅cos
C + b ⋅cos
c
⎞
+ b
2
+ 2 ⋅B
⋅b
⋅cos
( C − c) ⎟⎟ ⎠
Gleichung 2.15
Die Überlagerung der phasenverschobenen Schwingungsamplituden des Feder- und
des Dämpferelementes ergibt die Dehnungsfunktion gemäß Gleichung 2.16, die
somit die Reaktion eines Maxwell-Modells beschreibt.
ε
Maxwell
σ
(t) =
E
m
σ
+
λ
m
⋅ t + σ
a
1
E
2
+
1
( λ ⋅ ω)
2
⎛
⎛
⎞⎞
⎜
⎜
⎟
⎜
⎜ 1 ⎟
⋅ sin⎜ω⋅
t + arc cos⎜
⎟
⎜
⎜ 1 1
E ⋅ + ⎟
⎜
⎜ ( ) ⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ 2 2
⎝
⎝ E λ ⋅ ω ⎠⎠
Gleichung 2.16
Wird die Relaxationszeit t R = λ/E in Gleichung 2.16 verwendet, ergeben sich der
absolute E-Modul und der Phasenwinkel eines sinusförmig belasteten Maxwell-
Modells zu:
E
Maxwell
E
= ;
2
⎛ 1 ⎞
1+
⎜
t
⎟
⎝ R ⋅ ω⎠
⎛
⎞
⎜
⎜ 1
ϕ = arc cos⎜
Gleichung 2.17
⎜ 1
1+
⎜ ( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟ 2
⎝ t R ⋅ ω ⎠
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