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2.4.3.5 Dehnungsfunktion des Voigt-Kelvin-Körpers
Der Dehnungsverlauf des Voigt-Kelvin-Körpers kann durch Gleichung 2.13 konkret
beschrieben werden.
ε
Voigt−Kelvin
σ
(t) =
E
m
⎛
⋅
⎜
−
⎜
1 e
⎝
E
− ⋅t
λ
⎞
⎟
+ σ
⎟
⎠
A
⋅
E
2
ω⋅ λ
+ ω
2
2
⋅ λ
⋅ e
E
− ⋅t
λ
+ σ
A
⋅
E
2
1
+ ω
2
2
⋅ λ
⋅ sin
( ω⋅ t + ϕ)
Gleichung 2.18
Die Dehnung steigt bei Versuchsbeginn zunächst mit der Dehnungsrate
σm
ε& (t = 0) = an, die im Verlauf der Belastung abnimmt und sich asymptotisch einer
λ
σm
Grenzdehnung ε( t = ∞)
= nähert, um deren Wert sie sinusförmig mit der
E
Amplitude ε A schwingt.
Die Phasenverschiebung ϕ, mit der das Dehnungssignal dem Spannungssignal folgt,
ist abhängig von Elastizitätsmodul und Viskosität des Voigt-Kelvin-Modells sowie von
der Kreisfrequenz ω der Belastungsfunktion und kann mit Gleichung 2.19 beschrieben
werden.
ϕ
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
E
⎜
− ω ⋅ λ
= arc cos
⎟ = arc sin
⎟
Gleichung 2.19
2 2 2
2 2 2
⎝ E + ω ⋅ λ ⎠ ⎝ E + ω ⋅ λ ⎠
Der aus dem Dehnungsverlauf resultierende absolute E-Modul |E| wird durch
Gleichung 2.20 beschrieben.
E
Voigt−Kelvin
σ
=
ε
A
A
=
E
2
σ
σ
A
A
2
+ ω
2
⋅ λ
=
E
2
+ ω
2
2
⋅ λ
Gleichung 2.20
Wird der Quotient aus Viskosität und Elastizitätsmodul durch die Relaxationszeit t R =
λ/E ersetzt, so ergeben sich die Gleichungen 2.21 und 2.22.
E
Voigt−Kelvin
= E ⋅
1+ ω
2
⋅ t
2
R
Gleichung 2.21
ϕ
⎛
⎞
⎜ 1 ⎟
= arc cos
⎜
⎟
Gleichung 2.22
2
⎝ 1+ ω
2 ⋅ t R ⎠
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