Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

3 Aussagenlogik
Beweis. Wir verwenden das folgende Maß für Klauselmengen C:
#aou(C) = Anzahl der verschiedenen Atome in C, die nicht innerhalb von Literalen von
1-Klauseln in C vorkommen
Z.B. ist #aou({{A, ¬B}, {B, C}, {¬A}, {¬B}}) = 1, da von den drei Atomen A, B, C nur
C nicht in einer 1-Klausel vorkommt.
Sei C eine unerfüllbare Klausel. Wir zeigen per Induktion über #aou(C), dass das Resolutionsverfahren
stets die leere Klausel herleitet.
Für die Induktionsbasis nehmen wir an, dass #aou(C) = 0 ist, d.h. sämtliche Atome
kommen in 1-Klauseln vor. Wenn C bereits die leere Klausel enthält, oder zwei
1-Klauseln der Form {A} und {¬A} für ein Atom A, dann sind wir fertig (im zweiten
Fall muss die leere Klausel irgendwann durch Resolution der Klauseln {A} und
{¬A} hergeleitet werden). Anderenfalls gibt es 1-Klauseln und Klauseln mit mehr als
einem Literal, wobei die 1-Klauseln untereinander nicht resolvierbar sind. O.B.d.A. sei
C = {{L 1 }, . . . , {L n }, K 1 , . . . , K m }, wobei alle Klauseln K i keine 1-Klauseln sind. Betrachte
die Interpretation I mit I(L i ) = 1 für i = 1, . . . , n. Da C unerfüllbar ist, muss C jedoch
eine Klausel K enthalten mit I(K) = 0. K kann keines der Literale L i enthalten, sonst
würde I(K) = 1 gelten. Daher enthält K nur Literale L i , wobei ¬A = A und A = ¬A.
Offensichtlich kann man die passenden 1-Klauseln {L i } zusammen mit K verwenden,
um mit mehrfacher Resolution die leere Klausel herzuleiten.
Nun betrachten wir den Induktionsschritt. Sei #aou(C) = n > 0. Dann gibt es mindestens
ein Atom, dass in keiner 1-Klausel vorkommt. O.B.d.A. sei A dieses Atom. Betrachte
die Klauselmenge C ′ := C ∪ {{A}}. Jede Interpretation die C falsch macht, macht offensichtlich
auch C ′ falsch. Daher ist C ′ auch unerfüllbar. Außerdem gilt #aou(C ′ ) = n − 1.
Daher folgt aus der Induktionshypothese, dass es eine Resolutionsherleitung für C ′ gibt,
welche die leere Klausel herleitet. Verwende diese Herleitung wie folgt: Streiche die Klausel
{A} aus der Herleitung heraus. Dies ergibt eine Herleitung für C, die entweder immer
noch die leere Klausel herleitet (dann sind wir fertig), oder die Klausel {¬A} herleitet. Im
letzten Fall betrachte die Klauselmenge C ′′ := C ∪ {{¬A}}. Auch C ′′ ist unerfüllbar (aufgrund
der Unerfüllbarkeit von C). Ebenso gilt #aou(C ′′ ) = n − 1, und daher (aufgrund
der Induktionshypothese) existiert eine Herleitung der leeren Klauseln beginnend mit C ′′ .
Nun streichen wir aus dieser Herleitung die 1-Klausel {¬A}. Erneut ergibt sich eine Resolutionsherleitung
für C, die entweder die leere Klausel herleitet (dann sind wir fertig)
oder, die die Klausel {A} herleitet. Im letzten Fall verknüpfen wir die beiden Herleitungen
von {¬A} und {A} zu einer Herleitung (z.B. sequentiell). Aus der entstandenen Klauselmenge
muss die Resolution die leere Klausel herleiten, da sie die beiden 1-Klauseln {¬A}
und {A} enthält.
Theorem 3.6.7. Resolution erkennt unerfüllbare Klauselmengen.
Die Komplexität im schlimmsten Fall wurde von A. Haken (Haken, 1985) (siehe auch
(Eder, 1992) nach unten abgeschätzt: Es gibt eine Folge von Formeln (die sogenannten
Stand: 25. November 2012 96 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13