Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

6.4 Untersuchungen zum Kalkül
Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 2
Eingabe: (n × n)-Array R, mit Einträgen R[i, j] ⊆ R
Algorithmus:
queue := {(i, k, j) | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ j ≤ n};
while queue ≠ ∅ do
Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue;
R ′ := R[i, j] ∩ (R[i, k] ◦ R[k, j]);
if R[i, j] ≠ R ′ then
R[i, j] := R;
queue := queue ∪{(i, j, m) | 1 ≤ m ≤ n} ∪ {(m, i, j) | 1 ≤ m ≤ n}
endif
endwhile
Die Korrekheit des Algorithmus ergibt sich daraus, dass bei einer Änderung des Werts
R[i, j] wieder alle Nachbarn, deren Wert evtl. neu berechnet werden muss, in die Queue
eingefügt werden.
Die Laufzeit des Algorithmus ist im Worst-Case O(n 3 ): Am Anfang enthält die Menge
queue O(n 3 ) Tripel. Jedes R[i, j] kann maximal 13 mal verändert werden. Bei einer Änderung
an R[i, j] werden 2 ∗ n Tripel in queue eingefügt. Da es nur n 2 viele R[i, j] gibt,
werden insgesamt maximal 13 ∗ 2 ∗ n ∗ n 2 = O(n 3 ) Tripel zu queue hinzugefügt. Also gibt
es nicht mehr als O(n 3 ) Durchläufe der while-Schleife, von denen maximal O(n 2 ) Durchläufe
O(n) Laufzeit verbrauchen und die restlichen O(n) in konstanter Laufzeit laufen.
Das ergibt in der Summe eine Laufzeit von O(n 3 ).
6.4.2 Korrektheit
Es gilt:
Satz 6.4.1. Der Allensche Kalkül ist korrekt.
Beweis. Die Korrekheit muss man mittels der Semantik nachweisen. Für die aussagenlogischen
Umformungen ist dies offensichtlich.
• A R 1 B ∧ A R 2 B ist äquivalent zu A (R 1 ∩ R 2 ) B:
Sei R 1 = {r 1 , . . . , r k }, R 2 = {r ′ 1 , . . . , r′ k ′ }. Dann ist A R 1 B ∧ A R 2 B äquivalent zu
∨ {(A ri B) ∧ (A r ′ i ′ B) | 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ i ′ ≤ k ′ }. Wenn man nun die Eigenschaft hinzunimmt,
dass alle Basisrelationen echt disjunkt sind, so sieht man, dass die Formel
äquivalent zu ∨ {(A r i B) ∧ (A r ′ i ′ B) | 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ i ′ ≤ k ′ , r i = r ′ i ′ } ist, was gerade
genau A (R 1 ∩ R 2 ) B entspricht.
• A ∅ B und 0 sind äquivalent, da für jede Interpretation I per Definition I(A∅B) = 0
gilt.
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 207 Stand: 17. Januar 2013