Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

7.4 Inferenzen in Beschreibungslogiken: Subsumtion
von A-Boxen zu prüfen. Er ist auch leicht erweiterbar auf allgemeinere Konzeptbeschreibungssprachen.
Die Idee des Algorithmus ist es, eine Interpretation aufzubauen, die I(C) nicht leer
macht. Dabei geht man vorsichtig vor, so dass der Algorithmus entweder bemerkt, dass
ein Widerspruch aufgetreten ist, der anzeigt, dass das Konzept C leer ist, oder es sind
ausreichend viele Objekte und Beziehungen gefunden, die ein Modell darstellen.
Wir definieren zunächst die Struktur des Constraint-Systems:
Definition 7.4.5. Ein Constraint ist eine Folge von Ausdrücken der Form:
x : X xRy X ⊑ C X ⊑ Y ⊔ Z X(∀R)Y X(∃R)Y
wobei x, y, z Elemente (von ∆), X, Y, Z Konzeptnamen und C (auch komplexe) Konzepte sind. 3
Wir beschreiben informell, was die einzelnen Constraints bedeuten: Diese entsprechen
Anforderungen an das Modell I: x : X entspricht der Bedingung x ∈ I(X), xRy entspricht
der Bedingung (x, y) ∈ I(R), X ⊑ C entpsricht der Bedingung I(X) ⊆ I(C), X ⊑ Y ⊔ Z
entspricht der Bedingung I(X) ⊆ I(Y ) ∪ I(Z), X(∀R)Y entspricht der Bedingung ∀a ∈
I(X) : ∀b : (a, b) ∈ I(R) : b ∈ I(Y ), d.h. für alle Elemente a in I(X), die links in I(R)
vorkommen, muss jedes rechte Element b auch in I(Y ) sein, X(∃R)Y entspricht der der
Bedingung ∀a ∈ I(X) : ∃b.(a, b) ∈ I(R) : b ∈ I(Y ), d.h. für alle Element a in I(X) muss
es mindestens ein Paar (a, b) ∈ I(R) geben, wobei b ∈ I(Y ) ist.
Wie wir gleich sehen werden, wird im ersten Schritt (bevor das Tableau aufgebaut wird)
das Constraint-System aufgefaltet. Hierfür werden die folgenden Regeln verwendet:
X ⊑ (∀R.C) → X(∀R)Y, Y ⊑ C, wobei Y ein neuer Name
X ⊑ (∃R.C) → X(∃R)Y, Y ⊑ C, wobei Y ein neuer Name
X ⊑ C ⊓ D → X ⊑ C, X ⊑ D
X ⊑ C ⊔ D → X ⊑ Y ⊔ Z, Y ⊑ C, Z ⊑ D,
wenn und C oder D kein atomares Konzept ist,
und Y, Z sind neue Namen sind.
X ⊑ ⊤ → nichts zu tun
Es ist relativ leicht einzusehen, dass diese Regeln terminieren und als Normalform ein
Constraint-System liefern, dass nur noch Konzeptnamen und negierte Konzeptnamen für
C in Constraints X ⊑ C enthält.
Der zweite Schritt des Verfahrens baut ein Tableau auf, indem folgende Regeln benutzt
werden, um Individuen-Variablen korrekt einzufügen und das System zu vervollständigen:
3 Bei Verallgemeinerung auf ALCN muss man darauf achten, dass Objektvariablen verschiedene Objekte
bezeichnen
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 247 Stand: 31. Januar 2013