Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

7.4 Inferenzen in Beschreibungslogiken: Subsumtion
Beweis. Das kann man ganz einfach dadurch zeigen, dass man eine Interpretation I angibt,
die folgendes erfüllt:
I(A) = ∆ für alle atomaren Konzepte A
I(R) = ∆ × ∆ für alle Rollen R
Dann werden sogar alle zusammengesetzten Konzepte C immer als I(C) = ∆ interpretiert.
D.h. der Konsistenztest in FL 0 ist trivial. Das kommt daher, dass man keine Möglichkeit
hat, Konzepte mittels Negation einzuschränken.
Trotzdem ist der Subsumtionstest für FL 0 nichttrivial. Z.B. gilt sicher A ⊓ B ⊑ A, aber
A ⋢ A ⊓ B für atomare Konzepte A, B.
7.4.1.1 Struktureller Subsumtionstest
Allgemein (nicht nur in FL 0 ) lässt sich der strukturelle Subsumtionstest, der C ⊑ D testet,
durch die folgenden beiden Schritte beschreiben:
1. Bringe C und D in eine Normalform C ′ bzw. D ′ .
2. Vergleiche C ′ und D ′ syntaktisch.
Beide Teile variieren von Sprache zu Sprache.
In FL 0 ist eine Normalform folgendermaßen definiert:
A 1 ⊓ . . . ⊓ A m ⊓ ∀R 1 .C 1 ⊓ . . . ⊓ ∀R n .C n
wobei die Kommutativität und Assoziativität von ⊓ ausgenutzt wird, um Klammern wegzulassen,
und A i verschiedene atomare Konzepte sind, die R i verschiedene Rollensymbole
sind, und C i Konzepte in Normalform sind.
D.h. ein Normalformalgorithmus für FL 0 wird folgendes tun:
• assoziativ Ausklammern, dann Umsortieren, und dann gleiche A i in Konjunktionen
eliminieren.
• Falls es einen Unterausdruck ∀R.C ⊓ ∀R.D gibt, nutzt man aus, dass dieser äquivalent
zu ∀R.C ⊓ D ist, da das Rollensymbol das gleiche ist.
Als Begründung folgende Gleichungskette:
{x | ∀y.xI(R)y ⇒ y ∈ I(C 1 ) ∩ I(C 2 )}
= {x|∀y.¬(x I(R) y ∨ y ∈ I(C 1 ) ∩ I(C 2 )}
= {x|∀y.(¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C 1 ) ∧ (¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C 2 )}
= {x|∀y.(¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C 1 )) ∧ ∀y.¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C 2 )}
= I((∀ R.C 1 ) ⊓ (∀ R.C 2 ))
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 241 Stand: 31. Januar 2013