Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

3 Aussagenlogik
3.6.1.2 Klauseln mit isolierten Literalen
Definition 3.6.10. Ein Literal L ist isoliert in einer Klauselmenge C, wenn das Literal L in C
nicht vorkommt. Dabei ist L das zu L negierte Literal, d.h.
L :=
{
¬X, wenn L = X
X, wenn L = ¬X
Beispiel 3.6.11. In {{A, ¬B}, {A, ¬B, C}, {¬A, C}} ist das Literal C isoliert, da ¬C nicht in
der Klauselmenge vorkommt. Ebenso ist ¬B isoliertes Literal, da B nicht in der Klauselmenge
vorkommt.
Man kann Klauseln, die isolierte Literale enthalten, aus einer Klauselmenge entfernen.
Dabei wird die Erfüllbarkeit der Klauselmenge nicht verändert:
Satz 3.6.12. Sei C eine Klauselmenge und C ′ die Klauselmenge, die aus C entsteht, indem alle
Klauseln entfernt werden, die isolierte Literale enthalten. Dann ist C erfüllbar gdw. C ′ erfüllbar
ist.
Beweis. Sei C erfüllbar und I eine Interpretation mit I(C) = 1. Dann gilt offensichtlich
I(C ′ ) = 1, da C ′ ⊆ C (C ′ enthält weniger Klauseln als C).
Für die umgekehrte Richtung sei C ′ erfüllbar und I eine Interpretation mit I(C ′ ) = 1.
Betrachte die Interpretation I ′ mit
⎧
⎪⎨ 1, wenn X isoliertes Literal in C
I ′ (X) := 0, wenn ¬X isoliertes Literal in C
⎪⎩
I(X), sonst
Es muss gelten I ′ (C) = 1, denn Klauseln mit isolierten Literalen werden offensichtlich
wahr gemacht und alle anderen Klauseln werden bereits durch I wahr gemacht. D.h. C
ist erfüllbar.
Beachte, dass das Entfernen von Klauseln mit isolierten Literalen nicht die Äquivalenz
der Klauselmengen erhält:
Bemerkung 3.6.13. Betrachte die Klauselmenge C = {{A, ¬A}, {B}}. Das Literal B ist isoliert.
Nach Löschen der Klausel entsteht C ′ = {{A, ¬A}}. Während C ′ eine Tautologie ist, ist C
falsifizierbar (mit I(B) = 0).
Für das Resolutionsverfahren reicht die Erfüllbarkeitsäquivenz jedoch aus, da das Verfahren
auf Widersprüchlichkeit testet. Daher können Klauseln mit isolierten Literalen entfernt
werden.
Stand: 25. November 2012 98 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13