Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

4 Prädikatenlogik
4.1.4 Normalformen von P L 1 -Formeln
Ziel diese Abschnitts ist es, einen Algorithmus zu entwickeln, der beliebige Formeln
in eine Klauselnormalform (conjunctive normal form, CNF), d.h. eine Konjunktion (∧)
von Disjunktionen (∨ ) von Literalen, transformiert. Diese Klauselnormalform ist nur
„ganz außen“ allquantifiziert, es gibt keine inneren Quantoren. Folgendes Lemma erlaubt
die Transformation von Formeln, wobei die Regeln in Tautologien entsprechen, aber als
Transformationen benutzt werden. Diese sind Erweiterungen der Tautologien der Aussagenlogik.
Lemma 4.1.21. Elementare Rechenregeln
¬∀x : F ⇔ ∃x : ¬F
¬∃x : F ⇔ ∀x : ¬F
(∀x : F ) ∧ G ⇔ ∀x : (F ∧ G) falls x nicht frei in G
(∀x : F ) ∨ G ⇔ ∀x : (F ∨ G) falls x nicht frei in G
(∃x : F ) ∧ G ⇔ ∃x : (F ∧ G) falls x nicht frei in G
(∃x : F ) ∨ G ⇔ ∃x : (F ∨ G) falls x nicht frei in G
∀x : F ∧ ∀x : G ⇔ ∀x : (F ∧ G)
∃x : F ∨ ∃x : G ⇔ ∃x : (F ∨ G)
Bemerkung 4.1.22. Mithilfe der obigen Tautologien kann man die sogenannte Pränexform und
auch die Negationsnormalform einer Formel herstellen. Die Pränex-form ist dadurch gekennzeichnet,
dass in der Formel zuerst alle Quantoren kommen (Quantorpräfix), und dann eine quantorenfreie
Formel. Die Negations-normalform ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Negationszeichen
nur vor Atomen vorkommen und dass die Junktoren ⇒, ⇔ eliminiert sind.
Zur Umwandlung einer Formel in Pränexform braucht man nur die Äquivalenzen zu verwenden,
die Quantoren nach außen schieben. Hierzu müssen alle gebundenen Variablen verschiedene
Namen haben. Die Äquivalenzen, die es erlauben, Subformeln unter Quantoren ∀x. zu schieben,
falls diese die Subformel die Variable x nicht enthält, spielen eine wichtige Rolle.
Die Negationsnormalform wird erreicht, indem man zunächst ⇒, ⇔ eliminiert und dann alle
Äquivalenzen nutzt, um Negationszeichen nach innen zu schieben.
Die Elimination von Existenzquantoren ist die sogenannte Skolemisierung (Nach Thoralf
Skolem).
Idee: Ersetze in ∃x : P (x) das x, „das existiert“ durch ein Konstantensymbol a, d.h. ∃x :
P (x) → P (a) Ersetze in ∀x 1 . . . x n : ∃y : P (x 1 , . . . , x n , y) das y durch eine Funktion von
x 1 , . . . , x n , d.h. ∀x 1 . . . x n : ∃y : P (x 1 , . . . , x n , y) → ∀x 1 . . . x n : P (x 1 , . . . , x n , f(x 1 , . . . , x n )).
Im nächsten Theorem sei G[x 1 , . . . , x n , y] eine beliebige Formel, die die Variablensymbole
x 1 , . . . , x n , y frei enthält und G[x 1 , . . . , x n , t] eine Variante von F , in der alle Vorkommnisse
von y durch t ersetzt sind.
Stand: 25. November 2012 130 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13