Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

2.3 A ∗ -Algorithmus
dann nennt man h 2 besser informiert als h 1 .
Hieraus alleine kann man noch nicht folgern, dass der A ∗ -Algorithmus zu h 2 sich besser
verhält als zu h 1 . (Übungsaufgabe)
Notwendig ist: Die Abweichung bei Sortierung der Knoten mittels f muss klein sein.
D.h. optimal wäre f(k) ≤ f(k ′ ) ⇔ f ∗ (k) ≤ f ∗ (k ′ ).
Der wichtigere Begriff ist:
Definition 2.3.18. Eine Schätzfunktion h(.) ist monoton, gdw.
h(N) ≤ c(N, N ′ ) + h(N ′ ) für alle Knoten N und deren Nachfolger N ′ und wenn h(Z) = 0 ist
für Zielknoten Z.
Offenbar gilt die Monotonie-Ungleichung auch für die optimale Weglänge von N nach
N ′ , wenn N ′ kein direkter Nachfolger von N ist. Dies kann man so sehen:
h(N) ≤ g W (N, N 1 ) + h(N 1 ) ≤ g W (N, N 1 ) + g W (N 1 , N 2 ) + h(N 2 )
Iteriert man das, erhält man: h(N) ≤ g W (N, N ′ ) + h(N ′ )
Und damit auch h(N) ≤ g ∗ (N, N ′ ) + h(N ′ )
Für den Weg zum Ziel Z gilt damit h(N) ≤ g ∗ (N, Z) + h(Z) = g ∗ (N, Z) , da h(Z) = 0 ist.
Lemma 2.3.19. Eine monotone Schätzfunktion h(.) ist unterschätzend.
Die Monotonie der Schätzfunktion entspricht der Dreiecksungleichung in Geometrien
und metrischen Räumen.
Die Monotonieeigenschaft beschreibt das Verhalten der Funktion f beim Expandieren:
Wenn die Schätzfunktion monoton ist, dann wächst der Wert von f monoton, wenn man
einen Weg weiter expandiert.
Satz 2.3.20. Ist die Schätzfunktion h monoton, so expandiert der A ∗ -Algorithmus jeden untersuchten
Knoten beim ersten mal bereits mit dem optimalen Wert. D.h. g(N) = g ∗ (N) für alle
expandierten Knoten.
Beweis. Sei S = K 1 → . . . → K n ein optimaler Weg von S nach K n . Wir nehmen an die
Aussage sei falsch und es gelte g(K n ) > g ∗ (K n ) und K n wird expandiert. Aus Lemma 2.3.9
folgt: Es gibt einen Knoten K i ≠ K n und (i < n), der in Open ist und für den gilt g(K i ) =
g ∗ (K i ).
f(K i ) = g ∗ (K i ) + h(K i )
≤ g ∗ (K i ) + g ∗ (K i , K N ) + h(K N ) folgt aus Monotonie
= g ∗ (K N ) + h(K N )
< g(K N ) + h(K N ) = f(K N ).
Da f(K i ) < f(K N ) müsste aber K i anstelle von K n expandiert werden. D.h. wir haben
einen Widerspruch gefunden.
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 49 Stand: 1. November 2012