Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

6 Qualitatives zeitliches Schließen
Beweis. Das ist klar, da die Einzelconstraints ja Disjunktionen sind, und bei einer erfüllenden
Belegung genau eine der Relationen in der Relationsmenge gilt.
Satz 6.6.5. Ein eindeutiges Allensches Constraint ist erfüllbar, gdw. der Allensche Kalkül bei Vervollständigung
das Constraint nicht verändert, d.h. wenn es ein Fixpunkt ist.
Beweis. Wenn der Kalkül einen Widerspruch entdeckt, dann ist das Constraint natürlich
widersprüchlich. Für den Fall, dass der Kalkül keinen Widerspruch entdeckt, kann man
zeigen, dass eine totale Ordnung der Intervallenden möglich ist. Einen entsprechenden
Beweis findet man bspw. in (Valdés-Pérez, 1987)
Daraus ergibt sich ein (im worst-case exponentieller) Algorithmus, der die Erfüllbarkeit
eines Allenschen Constraints testet:
• Sei C ein Allensches Constraint.
• Sei D die Menge aller eindeutigen Allenschen Constraints zu C.
• Berechne den Allenschen Abschluss jedes Constraints C ′ ∈ D.
• Wenn dabei kein Widerspruch auftritt, ist C erfüllbar, anderenfalls C widersprüchlich.
Die durchschnittliche Verzweigungsrate dieses Algorithmus ist 6.5, da man im schlimmsten
Fall pro Beziehung A R B dreizehn Fallunterscheidungen machen muss, und im besten
Fall R einelementig ist.
6.7 Komplexität
Komplexität des Problems und des Algorithmus sind zu unterscheiden:
Die Komplexität des Problems ist schlechter, denn es gilt:
Satz 6.7.1. Die Erfüllbarkeit einer Konjunktion von Allenschen Relationen ist N P-vollständig,
bzw. die Erfüllbarkeit eines konjunktiven Allenschen Constraints ist N P-vollständig.
Beweis. Es ist leicht einzusehen, dass die Erfüllbarkeit eines Allenschen Constraints in N P
ist. Man muss nur ein lineare Reihenfolge aller Werte X a , X e angeben (bzw. raten), wobei
X eine Intervallkonstante ist und X a der Anfang und X e das Ende. Der Test, ob diese
lineare Reihenfolge das Constraint erfüllt, ist dann polynomiell.
Zum Beweis der N P-härte nehme das N P-vollständige Problem der Drei-Färbbarkeit
eines Graphen:
Gegeben ein Graph mit Knotenmenge N und Kantenmenge K. Gibt es eine
Färbung der Knoten mit drei Farben, so dass benachbarte Knoten verschiedene
Farbe haben?
Stand: 17. Januar 2013 212 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13