Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

3 Aussagenlogik
3.1 Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Die Aussagenlogik ist in vielen anderen Logiken enthalten; sie hat einfache verstehbare
Inferenzmethoden, man kann einfache Beispiele modellhaft in der Aussagenlogik betrachten.
Bei der Verallgemeinerung auf Prädikatenlogik und andere Logiken startet man
meist auf der Basis der Aussagenlogik.
Wir werden in diesem Kapitel detailliert auf Aussagenlogik, Kalküle und Eigenschaften
eingehen. Das Ziel dabei ist jeweils, vereinfachte Varianten von allgemeinen Verfahren
zum Schlussfolgern zu verstehen, damit man einen Einblick in die Wirkungsweise von
Inferenzverfahren für Prädikatenlogik und andere Logiken gewinnt. Ziel ist eher nicht,
optimale und effiziente Verfahren für die Aussagenlogik vorzustellen.
Definition 3.1.1 (Syntax der Aussagenlogik). Sei X ein Nichtterminal für für aussagenlogische
Variablen (aus einer Menge von abzählbar unendlich vielen Variablen). Die folgende Grammatik
legt die Syntax aussagenlogischer Formeln fest:
A ::= X | (A ∧ A) | (A ∨ A) | (¬ A) | (A ⇒ A) | (A ⇔ A) | 0 | 1
Die Konstanten 0 und 1 entsprechen der falschen bzw. wahren Aussage. Üblicherweise werden bei
der Notation von Aussagen Klammern weggelassen. wobei man die Klammerung aus den Prioritäten
der Operatoren wieder rekonstruieren kann: Die Prioritätsreihenfolge ist: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇐⇒ .
Die Zeichen ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔ nennt man Junktoren. Die Bezeichnungen der Junktoren sind:
A ∧ B: Konjunktion (Verundung).
A ∨ B: Disjunktion (Veroderung).
A ⇒ B: Implikation .
A ⇔ B: Äquivalenz (Biimplikation).
¬A: negierte Formel (Negation).
Aussagen der Form 0, 1 oder x nennen wir Atome. Ein Literal ist entweder ein Atom oder eine
Aussage der Form ¬A, wobei A ein Atom ist.
Oft wählt man aussagekräftige Namen (Bezeichnungen) für die Variablen, um
die entsprechenden Aussagen auch umgangsprachlich zu verstehen. Z.B. kann man
den Satz „Wenn es heute nicht regnet, gehe ich Fahrradfahren.“ als Aussagenlogische
Formel mit den Variablen esregnetheute und fahrradfahren darstellen als
¬esregnetheute ⇒ fahrradfahren.
Wir lassen auch teilweise eine erweiterte Syntax zu, bei der auch noch andere Operatoren
zulässig sind wie: NOR, XOR, NAND.
Dies erweitert nicht die Fähigkeit zum Hinschreiben von logischen Ausdrücken, denn
man kann diese Operatoren simulieren. Auch könnte man 0, 1 weglassen, wie wir noch
sehen werden, denn man kann 1 als Abkürzung von A ∨ ¬A, und 0 als Abkürzung von
A ∧ ¬A auffassen.
Stand: 25. November 2012 82 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13