Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

7 Konzeptbeschreibungssprachen
Nimmt man den größten Fixpunkt, werden auch die „unendlichen Pfade“ beachtet:
I 0 (MnurS) = ∆
I 1 (MnurS) = I B (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I B (hatKind) ⇒ y ∈ I 0 (MnurS)}
= I B (Mann) ∩ (∆)
= I B (Mann)
I 2 (MnurS) = I B (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I B (hatKind) ⇒ y ∈ I 1 (MnurS)}
= I B (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I B (hatKind) ⇒ y ∈ I B (Mann)}
= I B (Mann) ∩ ({Heike i , Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3})
= {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}
I 3 (MnurS) = I B (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I B (hatKind) ⇒ y ∈ I 2 (MnurS)}
= I B (Mann) ∩ ({Heike i , Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3})
= {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}
I j (MnurS) = {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}} für alle weiteren i
Das ergibt ⋂ i I i(MnurS) = {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}.
Theorem 7.3.7. Ist die Terminologie ohne Komplemente definiert, dann kann man sowohl einen
kleinsten als auch einen größten Fixpunkt der Interpretationen als Erweiterung einer Basisinterpretation
definieren.
Der Grund dafür, dass dieses Verfahren funktioniert, ist, dass man folgende Monotonie
in diesem Fall hat:
I ⊆ I ′ ⇒ I(C) ⊆ I ′ (C)
wobei I ⊆ I ′ definiert ist als: ∀atomare Konzepte A : I(A) ⊆ I ′ (A). Das wiederum folgt
daraus, dass ⊓, ⊔, ∀R.C, ∃R.C, (≥ n R) alle monoton im Konzept-Argument sind (falls es
eines gibt). Wenn man über ALCN hinausgeht, ist das Konstrukt (≥ n R.C) monoton,
während (≤ n R.C) nicht monoton ist.
Theorem 7.3.8. Ist die Terminologie so definiert, dass jeder zyklische Pfad durch die Terme durch
eine gerade Anzahl Negationen geht, denn kann man sowohl einen kleinsten als auch einen größten
Fixpunkt der Interpretationen als Erweiterung einer Basisinterpretation definieren.
Der Grund für das Funktionieren ist in diesem Fall ebenfalls die Monotonie bzgl. Interpretationen,
wobei jedes Komplement die Monotonie in eine Antimonotonie verwandelt
und nach zwei solchen Übergängen das Verhalten wieder monoton ist.
Beispiel 7.3.9. Wir betrachten ein Beispiel für eine zyklische T-Box, die nicht nur aus Definition
besteht. „Jedes Huhn kommt aus einem Ei. Jedes Ei wurde von einem Huhn gelegt.“ Die graphische
Darstellung kann man so notieren:
Stand: 31. Januar 2013 234 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13