Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

2 Suchverfahren
Basisfall n = 1. Dann erfüllt der „Weg“ S die Voraussetzung, da infWeg(S) = d angenommen
wurde. Für den Induktionsschritt, sei die Bedingung für n − 1 erfüllt. Wir betrachten
zwei Fälle:
• Die Induktionsannahme erfüllt Bedingung 1, d.h. es gibt einen Weg K 1 → . . . K i
(für ein i ≤ n − 1) mit c W (K 1 , . . . , K i ) = d und K i ist Zielknoten. Dann erfüllt der
gleiche Weg Bedingung 1 für n.
• Die Induktionsannahme erfüllt Bedingung 2. Sei K 1 → . . . → K n−1 der entsprechende
Weg. Insbesondere gilt c W (K 1 , . . . , K n−1 ) + infWeg(K n−1 ) = d.
Wenn K n−1 ein Zielknoten ist, ist Bedingung 1 erfüllt und wir sind fertig.
Anderenfalls betrachte alle Nachfolger N 1 , . . . , N m von K j . Da es nur endliche
viele Nachfolger gibt, gibt es mindestens einen Nachfolger N h , so dass
c W (K 1 , . . . , K n−1 ) + c(K j , N h ) + infWeg(N h ) = d. Mit K n := N h erfült der Weg
K 1 → . . . → K n Bedingung 2.
Zum Beweis der eigentlichen Aussage, müssen wir jetzt nur noch zeigen, dass es ein n gibt,
dass Bedingung 1 erfüllt, d.h. es gibt keinen unendlichen langen Weg der Bedingung 2
erfüllt.
Betrachte die konstruierte Folge K 1 → K 2 → . . . gem. Bedingung 2. Ein Knoten kann
nicht mehrfach in der Folge K 0 , K 1 , . . . vorkommen, da man sonst das Infimum d echt
verkleinern könnte (den Zyklus immer wieder gehen). Weiterhin muss für jeden Knoten
K j gelten, dass h(K j ) ≤ infWeg(K j ) ist, da h unterschätzend ist und infWeg(K j ) das
entsprechende Infimum der existierenden Wege zum Ziel ist. Gäbe es unendlich viele
Knoten K j , dann wäre daher Bedingung 1 aus Definition 2.3.5 verletzt. Somit folgt, dass
es keine unendliche Folge gibt und man daher stets einen endlichen optimalen Weg findet.
Lemma 2.3.9. Es existiere ein optimaler Weg S = K 0 → . . . → K n = Z vom Startknoten S bis
zu einem Zielknoten Z . Die Voraussetzungen in Definition 2.3.5 seien erfüllt. Dann ist während
der Ausführung des A ∗ -Algorithmus stets ein Knoten K i in Open, markiert mit g(K i ) = g ∗ (K i ),
d.h. mit einem optimalen Weg von S zu K i .
Beweis. Induktion über die Iterationen des A ∗ -Algorithmus. Für den Basisfall, genügt es
zu beachten, dass S ∈ Open und g(S) = 0 gilt, und im Anschluss K 1 in Open eingefügt
wird. Da S → K 1 und K 1 auf einem optimalen Weg liegt, muss K 1 mit g(K 1 ) = c(S, K 1 ) =
g ∗ (S, K 1 ) markiert werden (sonst gäbe es einen kürzeren Weg von S zu Z).
Induktionsschritt: Als Induktionshypothese verwenden wir, dass Open mindestens
einen der Knoten K i enthält, der mit g(K i ) = g ∗ (K i ) markiert ist. Sei j maximal, so dass
K j diese Bedingungen erfüllt. Wir betrachten unterschiedliche Fälle:
• Ein Knoten ≠ K j wird expandiert. Dann verbleibt K j in Open und der Wert g(K j )
wird nicht verändert, da er bereits optimal ist.
Stand: 1. November 2012 46 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13