Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

3 Aussagenlogik
Man kann jede Aussage in den n Variablen X 1 , . . . , X n auch als eine Funktion mit den
n Argumenten X 1 , . . . , X n auffassen. Dies entspricht dann Booleschen Funktionen.
Beispiel 3.1.5. Wir betrachten einige Beispiele:
• X ∨ ¬X ist eine Tautologie, denn für jede Interpretation I gilt: I(X ∨ ¬X) =
f ∨ (f ¬ (I(X)), I(X)) = 1, da f ¬ (I(X)) oder I(X) gleich zu 1 sein muss.
• X ∧ ¬X ist ein Widerspruch, denn für jede Interpretation I gilt: I(X ∧ ¬X) =
f ∧ (f ∧ (I(X)), I(X)) = 0, da f ¬ (I(X)) oder I(X) gleich zu 0 sein muss.
• (X ⇒ Y ) ⇒ ((Y ⇒ Z) ⇒ (X ⇒ Z)) ist eine Tautologie.
• X ∨ Y ist erfüllbar. Z.B. ist I mit I(X) = 1, I(Y ) = 1 ein Modell für X ∨ Y : I(X ∨ Y ) =
f ∨ (I(X), I(Y )) = f ∨ (1, 1) = 1.
• I mit I(X) = 1, I(Y ) = 0 ist ein Modell für X ∧ ¬Y
Beispiel 3.1.6. Bauernregeln:
• „Abendrot Schlechtwetterbot’“ kann man übersetzen in
Abendrot ⇒ Schlechtes_Wetter. Diese Aussage ist weder Tautologie noch Widerspruch, aber
erfüllbar.
• „Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist. “ kann
man übersetzen in
Hahn_kraeht_auf_Mist ⇒ (Wetteraenderung ∨ ¬Wetteraenderung).
Man sieht, dass das eine Tautologie ist.
Die tautologischen Aussagen sind in Bezug auf die Wirklichkeit ohne Inhalt. Erst wenn man
sie verwendet zum Finden von Folgerungen ergibt sich etwas neues.
Theorem 3.1.7.
• Es ist entscheidbar, ob eine Aussage eine Tautologie (Widerspruch, erfüllbar) ist.
• Die Frage „Ist A erfüllbar?“ ist N P-vollständig.
• Die Frage „Ist A falsifizierbar?“ ist ebenso N P-vollständig.
• Die Frage „Ist A Tautologie?“ ist CoN P-vollständig.
• Die Frage „Ist A ein Widerspruch?“ ist CoN P-vollständig.
Das einfachste und bekannteste Verfahren zur Entscheidbarkeit ist das der Wahrheitstafeln.
Es werden einfache alle Interpretation ausprobiert.
Zur Erläuterung: N P-vollständig bedeutet, dass jedes Problem der Problemklasse mit
einem nicht-deterministischen Verfahren in polynomieller Zeit gelöst werden kann, und dass
Stand: 25. November 2012 84 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13