Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

7.3 T-Box und A-Box
Da diese T-Box azyklisch ist und nur aus Definitionen besteht, kann man stets aus einer Interpretation
I 0 , die nur die Konzeptnamen Person, Weiblich, hatKind und hatEhemann interpretiert,
ein Modell I für die T-Box erzeugen, indem man setzt I(Person) := I 0 (Person), I(Weiblich) :=
I 0 (Weiblich, I(hatKind) := I 0 (hatKind) und I(hatEhemann) := I 0 (hatEhemann) und für alle
anderen Konzeptnamen (d.h. den definierten Namen), die Interpretation einfach „ausrechnet“, z.B.
I(Frau) = I 0 (Person) ∩ I 0 (Weiblich).
Beispiel 7.3.3. Ein Beispiel für eine sinnvolle zyklische T-Box ist:
Mensch’ ≡ Tier ⊓ ∀HatEltern.Mensch’
Menschen sind alle Tiere, die deren Elteren nur Menschen sind.
Das Finden eines Modells ist in diesem Fall nicht so einfach, denn selbst wenn man eine Interpretation
I 0 hat die Tier und HatEltern festlegt, können wir nicht ohne weiteres ein Modell finden,
denn I(Mensch’) := I 0 (Tier) ∩ {x | ∀y.(x, y) ∈ I 0 (HatEltern) =⇒ y ∈ I(Mensch’)} ist eine
rekursiv definierte Menge. Man benötigt eine Interpretation (als Menge) I(Mensch’) ⊆ ∆, die ein
Fixpunkt der rekursiven Gleichung ist.
7.3.2 Fixpunktsemantik für zyklische T-Boxen
Zwei weitere Beispiele für sinnvolle zyklische T-Box-Definitionen sind:
MnurS ≡ Mann ⊓ ∀hatKind.MnurS
das entspricht dem Konzept: „Mann, der nur Söhne hat, und für dessen Söhne das gleiche
gilt“. Zyklen können auch bei Datenstrukturen auftreten, z.B. für binäre Bäume:
BinBaum ≡ Baum ⊓ (≤ 2 hatAst) ⊓ ∀hatAst.BinBaum
Eine Fixpunktsemantik hilft hier weiter. Im letzten Beispiel muss man auf jeden Fall
einen kleinsten Fixpunkt nehmen (sonst wären unendlich tiefe Bäume auch enthalten!)
Zunächst ist klar, dass eine Modell I einer T-Box, alle Axiome erfüllen muss. Für jedes
Axiom A ≡ C A muss I(A) = I(C A ) gelten. Wenn A in C A als Name vorkommt, dann ist
diese Bedingung nichttrivial.
Beispiel 7.3.4. Eine solche Interpretation muss nicht immer existieren, wenn die T-Box zyklisch
ist:
A ≡ ¬A
kann man zwar hinschreiben, aber keine Interpretation dafür angeben, denn ∆ ≠ ∅ war vorausgesetzt,
und I(A) = ∆ \ I(A) ist daher nie erfüllt.
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 231 Stand: 31. Januar 2013