Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

7.4 Inferenzen in Beschreibungslogiken: Subsumtion
• Schließlich muss man sich noch klar machen, dass S 1 ⊆ S 1 ′ und S 2 ⊆ S 2 ′ impliziert
S 1 ∩ S 2 ⊆ S 1 ′ ∩ S′ 2 (damit wir die beiden Teile: atomare Konzepte und Wertbeschränkungen
getrennt voneinander betrachten durften).
Die Vollständigkeit kann man z.B. zeigen, indem man im Falle, dass der Algorithmus
scheitert, ein Modell angibt, in dem die Subsumtionsbeziehung tatsächlich nicht gilt.
Die Komplexität dieses Algorithmus kann man wie folgt abschätzen:
Die Normalformherstellung arbeitet auf der Termstruktur und sortiert sinnvollerweise,
d.h. man hat einen Anteil O(n∗log(n)) für die Herstellung der Normalform. Das rekursive
Vergleichen ist analog und könnte in einer sortierten Darstellung sogar linear gemacht
werden. Insgesamt hat man O(n ∗ log(n)) als Größenordnung des Zeitbedarfs.
Beispiel 7.4.2. Betrachte die FL 0 -Konzeptdefinitionen:
C 1 ≡ (∀R 1 .A 1 ) ⊓ A 2 ⊓ (∀R 2 .A 5 ) ⊓ (∀R 2 .∀R 1 .(A 2 ⊓ A 3 ⊓ A 4 ))
C 2 ≡ ((∀R 2 .∀R 1 .A 4 ) ⊓ A 2 ⊓ (∀R 2 .∀R 1 .(A 3 ⊓ A 4 ))
Wir testen, ob C 1 ⊑ C 2 und ob C 2 ⊑ C 1 mithilfe des strukturellen Subsumtionstests. Zunächst
berechnen wir die Normalformen NF (C 1 ), NF (C 2 ):
Normalformberechnung für C 1 :
C 1 ≡ (∀R 1 .A 1 ) ⊓ A 2 ⊓ (∀R 2 .A 5 ) ⊓ (∀R 2 .∀R 1 .(A 2 ⊓ A 3 ⊓ A 4 ))
→ A 2 ⊓ (∀R 1 .A 1 ) ⊓ (∀R 2 .A 5 ) ⊓ (∀R 2 .∀R 1 .(A 3 ⊓ A 4 ))
→ A 2 ⊓ (∀R 1 .A 1 ) ⊓ (∀R 2 .A 5 ⊓ (∀R 1 .(A 2 ⊓ A 3 ⊓ A 4 ))) = NF (C 1 )
Normalformberechnung für C 2 :
C 2 ≡ ((∀R 2 .∀R 1 .A 4 ) ⊓ A 2 ⊓ (∀R 2 .∀R 1 .(A 3 ⊓ A 4 ))
→ A 2 ⊓ ((∀R 2 .∀R 1 .A 4 ) ⊓ (∀R 2 .∀R 1 .(A 3 ⊓ A 4 ))
→ A 2 ⊓ (∀R 2 .((∀R 1 .A 4 ) ⊓ ∀R 1 .(A 3 ⊓ A 4 )))
→ A 2 ⊓ (∀R 2 .(∀R 1 .(A 4 ⊓ A 3 ⊓ A 4 ))
→ A 2 ⊓ (∀R 2 .(∀R 1 .(A 3 ⊓ A 4 )) = NF (C 2 )
Nun müssen wir die Normalformen vergleichen: Die atomaren Konzepte sind genau gleich, da beide
Normalformen A 2 als atomares Konzept in der Konjuktion haben. Für die Wertbeschränkungen:
Da ∀R 1 . . . . nur in der NF (C 1 ) vorkommt, können wir sofort schließen C 2 ⋢ C 1 . Für C 1 ⊑ C 2
müssen wir für ∀R 2 . . . . rekursiv zeigen Das erfordert als rekursiven Vergleich: A 5 ⊓ (∀R 1 .(A 2 ⊓
A 3 ⊓ A 4 ))) ⊑ (∀R 1 .(A 3 ⊓ A 4 )) Für die atomaren Konzepte ist der Vergleich erfolgreich, da A 5
nur links vorkommt. Für die Wertbeschränkungen müssen wir rekursiv vergleichen: (A 2 ⊓ A 3 ⊓
A 4 ) ⊑ (A 3 ⊓ A 4 ) was offensichtlich erfüllt ist. Daher dürfen wir schließen C 1 ⊑ C 2 .
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 243 Stand: 31. Januar 2013