Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

3.7 DPLL-Verfahren
3.6.1.3 Subsumtion
Definition 3.6.14. Eine Klausel K 1 subsumiert eine Klausel K 2 , wenn K 1 ⊆ K 2 gilt. Man sagt
in diesem Fall auch: „K 2 wird von K 1 subsumiert“.
Gibt es in einer Klauselmenge, Klauseln, die durch andere Klauseln subsumiert werden,
so können die subsumierten Klauseln entfernt werden, denn es gilt:
Satz 3.6.15. Sei C ∪{K 1 }∪{K 2 } eine Klauselmenge, wobei K 1 die Klausel K 2 subsumiert. Dann
sind die Formeln C ∪ {K 1 } ∪ {K 2 } und C ∪ {K 1 } äquivalent.
Beweis. Sei I eine Interpretation. Wir betrachten zwei Fälle:
• I(C ∪ {K 1 }) = 1. Dann muss gelten I(K 1 ) = 1. Da K 1 ⊆ K 2 muss ebenso gelten
I(K 2 ) = 1 (beachte K 1 ≠ ∅, da I(K 1 ) = 1) und daher macht I auch C ∪ {K 1 } ∪ {K 2 }
wahr.
• I(C ∪ {K 1 }) = 0, dann kann nur I(C ∪ {K 1 } ∪ {K 2 }) = 0 gelten.
Das zeigt, dass subsumierte Klauseln im Resolutionsverfahren entfernt werden können.
3.7 DPLL-Verfahren
Die Prozedur von Davis, Putnam, Logemann und Loveland (DPLL) dient zum Entscheiden
der Erfüllbarkeit (und Unerfüllbarkeit) von aussagenlogische Klauselmengen. Sie ist
eine Abwandlung eines vorher von Davis und Putnam vorgeschlagenen Verfahrens (und
wird daher manchmal auch nur als Davis-Putnam-Prozedur bezeichnet).
Das Verfahren beruht auf Fallunterscheidung und Ausnutzen und Propagieren der Information.
Die Korrektheit und Vollständigkeit des Verfahrens lässt sich aus der Resolution
samt den Löschregeln leicht folgern.
Der Algorithmus hat eine Klauselmenge als Eingabe und liefert genau dann true als
Ausgabe, wenn die Klauselmenge unerfüllbar ist. Wir nehmen an, dass tautologische
Klauseln in der Eingabe bereits entfernt sind. Der genaue Algorithmus ist wie folgt:
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 99 Stand: 25. November 2012