Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

6.6 Einge Analysen zur Implementierungen
Insbesondere findet er keinen Widerspruch, obwohl die Menge der Constraints widersprüchlich
ist.
Bemerkung 6.5.3. Man kann sich bei Anfragen an den Allen-Kalkül nur darauf verlassen, dass
die Vervollständigung richtig ist, aber evtl. nicht optimal. Wenn man die Frage stellt: Ist das Constraint
C widersprüchlich, so kann man sich nur bei „JA“ (d.h. Herleitung der 0) auf die Antwort
verlassen, aber micht bei „NEIN“. Umgekehrt heisst das auch, dass man sich bei der Frage nach
der Erfüllbarkeit dementsprechend nur auf die Antwort „NEIN“ verlassen kann.
6.6 Einge Analysen zur Implementierungen
Ein Allensches Constraint kann man versuchen vollständig auf Erfüllbarkeit bzw Unerfülllbarkeit
zu testen, indem man Fallunterscheidungen macht.
Wir schauen genauer auf Allensche Constraints, wobei wir annehmen, dass diese normalisiert
sind, d.h. zwischen zwei Intervallkonstanten gibt es nur ein Constraint.
Definition 6.6.1. Ein Allensches Constraint nennt man eindeutig, wenn für alle Paare A, B
von Intervallkonstanten gilt: Das Constraint enthält genau eine Beziehung A r B, wobei r eine
der dreizehn Basisrelationen ist.
Es gilt:
Satz 6.6.2. Der Allensche Abschluss eines eindeutigen Allenschen Constraints F ist entweder 0,
oder wiederum F .
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass die Anwendung der Transitivitätsregel nur eindeutige
Relationen erzeugen kann (nach Anwendung weiterer Regeln): Seien A r 1 B, B r 2 C
Teilformeln des eindeutigen Allenschen Constraint, dann muss es bereits eine Beziehung
A r 3 C geben (sonst wäre das Constraint nicht eindeutig). Die Transitivitätsregel ergibt:
A r 1 B ∧ B r 2 C ∧ A r 3 C → A r 1 B ∧ B r 2 C ∧ A (r 1 ◦ r 2 ) C ∧ A r 3 C.
Anschließend können wir eine weitere Regel anwenden:
A r 1 B ∧ B r 2 C ∧ A (r 1 ◦ r 2 ) C ∧ A r 3 C → A r 1 B ∧ B r 2 C ∧ A (r 1 ◦ r 2 ) ∩ {r 3 } C
. Da der Schnitt (r 1 ◦ r 2 ) ∩ {r 3 } entweder r 3 oder ∅ (Unerfüllbarkeit) ergeben muss, folgt
die Aussage.
Definition 6.6.3. Zu jedem Allenschen Constraint C kann man die Menge aller zugehörigen
eindeutigen Allenschen Constraints D definieren, wobei gelten muss: Wenn A r B in D vorkommt
und A R B in C, dann gilt r ∈ R.
Lemma 6.6.4. Ein Allensches Constraint ist erfüllbar, gdw., es ein zugehöriges eindeutiges Constraint
gibt, das erfüllbar ist.
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 211 Stand: 17. Januar 2013