Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

7 Konzeptbeschreibungssprachen
Man kann eine Fixpunktsemantik für eine zyklische T-Box mit Gleichungen als Grenzwert
unter gewissen Bedingungen konstruieren: Zunächst hat man eine Basisinterpretation
I B der nicht-definierten Namen.
Man definiert eine Folge von Interpretationen I i , i = 0, 1, 2, . . ., und
1. erweitert I B : sei I 0 (A) = ∅ für alle definierten Namen A.
2. Danach definiert man I i+1 (A) := I i (C A ) für alle i und jede Definition A ≡ C A .
3. Wenn die Folge monoton steigend ist, d.h. für alle Namen stets I i (A) ⊆ I i+1 (A) gilt,
dann kann man I ∞ (A) = ⋃ I i (A) definieren.
i
Das ergibt einen kleinsten Fixpunkt.
Einen größten Fixpunkt erhält man mit folgendem Vorgehen:
1. Man startet mit I B und erweitert diese so: I 0 (A) = ∆ für alle definierten Namen A.
2. Danach definiert man I i+1 (A) := I i (C A ) für jede Definition A ≡ C A .
3. Wenn die Folge monoton fallend ist, d.h. für alle Namen stets I i+1 (A) ⊆ I i (A) gilt,
dann kann man I ∞ (A) = ⋂ I i (A) definieren.
i
Das ergibt einen größten Fixpunkt.
Beispiel 7.3.5. Betrachte erneut die T-Box A ≡ ¬A. Der Versuch einen Fixpunkt zu erzeugen,
scheitert, sei ∆ beliebig als nicht-leere Menge festgelegt. Dann gibt es keinen kleinsten Fixpunkt:
I 0 (A)
I 1 (A)
I 2 (A)
= ∅
= I 0 (¬A) = ∆ \ I 0 (A) = ∆
= I 1 (¬A) = ∆ \ I 1 (A) = ∅
Jetzt sieht man schon die Nichtmonotonie, da ∆ = I 1 (A) ⊈ I 2 (A) = ∅.
Für den größten Fixpunkt geht es analog:
I 0 (A)
I 1 (A)
I 2 (A)
= ∆
= I 0 (¬A) = ∆ \ I 0 (A) = ∅
= I 0 (¬A) = ∆ \ I 1 (A) = ∆
Da I 2 (A) ⊈ I 1 (A) ist die Monotonie verletzt.
Beispiel 7.3.6.
MnurS ≡ Mann ⊓ ∀hatKind.MnurS
Sei I B eine Interpretation, die ∆, I(Mann) und I(hatKind) festlegt als
∆ = {Hans i | i ∈ N} ∪ {Horst i | i ∈ N} ∪ {Heike i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}
I B (Mann) = {Hans i | i ∈ N} ∪ {Horst i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}
I B (hatKind) = {(Hans i , Hans i+1 ) | i ∈ N} ∪ {(Horst i , Horst i+1 ) | i ∈ N}
∪{(Horst i , Heike i+1 ) | i ∈ N} ∪ {(Fritz i , Fritz i+1 ) | i ∈ {1, 2}}
Stand: 31. Januar 2013 232 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13