Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

3.2 Folgerungsbegriffe
es keine bessere obere Schranke gibt (unter der allgemein vermuteten Hypothese P ̸=
N P).
Eine Problemklasse ist CoN P-vollständig, wenn die Problemklasse, die aus dem Komplement
gebildet wird, N P-vollständig ist. 1
Sequentielle Algorithmen zur Lösung haben für beide Problemklassen nur
Exponential-Zeit Algorithmen. Genaugenommen ist es ein offenes Problem der theoretischen
Informatik, ob es nicht bessere sequentielle Algorithmen gibt (d.h. ob P = N P
bzw. P = CoN P gilt).
Die Klasse der N P-vollständigen Probleme ist vom praktischen Standpunkt aus leichter
als CoN P-vollständig: Für N P-vollständige Probleme kann man mit Glück (d.h. Raten)
oft schnell eine Lösung finden. Z.B. eine Interpretation einer Formel. Für CoN P-
vollständige Probleme muß man i.a. viele Möglichkeiten testen: Z.B. muß man i.A. alle
Interpretationen einer Formel ausprobieren.
3.2 Folgerungsbegriffe
Man muß zwei verschiedene Begriffe der Folgerungen für Logiken unterscheiden:
• semantische Folgerung
• syntaktische Folgerung (Herleitung, Ableitung) mittels einer prozeduralen Vorschrift.
Dies ist meist ein nicht-deterministischer Algorithmus (Kalkül), der auf Formeln
oder auf erweiterten Datenstrukturen operiert. Das Ziel ist i.A. die Erkennung
von Tautologien (oder Folgerungsbeziehungen).
In der Aussagenlogik fallen viele Begriffe zusammen, die in anderen Logiken verschieden
sind. Trotzdem wollen wir die Begriffe hier unterscheiden.
1 Üblicherweise werden Problemklassen als Wortproblem über einer formalen Sprache aufgefasst. Die Frage
nach der Erfüllbarkeit wäre in dieser Darstellung die Sprache SAT definiert als:
SAT := {F | F ist erfüllbare aussagenlogische Formel }.
Das Wortproblem ist die Frage, ob eine gegebene Formel in der Sprache SAT liegt oder nicht.
Die Komplexitätsklasse N P umfasst alle Sprachen, deren Wortproblem auf einer nichtdeterministischen
Turingmaschine in polynomieller Zeit lösbar ist. Die Komplexitätsklasse CoN P ist definiert als:
CoN P := {L | L C ∈ N P}, wobei L C das Komplement der Sprache L ist.
Die Sprache UNSAT := {F | F ist Widerspruch} ist eine der Sprachen in CoN P, da UNSAT C = Alle
Formeln \UNSAT = SAT, und SAT ∈ N P.
Ein Sprache L ∈ N P ist N P-vollständig, wenn es für jede Sprache L ′ ∈ N P eine Polynomialzeit-
Kodierung R gibt, die jedes Wort x ∈ L ′ in die Sprache L kodiert (d.h. R(x) ∈ L) (dies nennt man
auch Polynomialzeitreduktion). Die N P-vollständigen Sprachen sind daher die „schwersten“ Probleme
in N P.
Analog dazu ist die CoN P-Vollständigkeit definiert: Eine Sprache L ∈ CoN P ist CoN P-vollständig,
wenn jede andere Sprache aus CoN P in Polynomialzeit auf L reduziert werden kann.
Man kann relativ leicht nachweisen, dass sich auch die Vollständigkeit mit den Komplementen überträgt,
d.h. dass eine Sprache L genau dann CoN P-vollständig ist, wenn ihr Komplement L C eine N P-
vollständige Sprache ist.
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 85 Stand: 25. November 2012