Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

6 Qualitatives zeitliches Schließen
Als Schlussfolgerung kann man sagen, dass ein vollständiger Algorithmus nach aktuellem
Wissenstand mindestens exponentiell sein muss, während der polynomiell Allensche
Vervollständigungs-Algorithmus unvollständig sein muss.
6.8 Eine polynomielle und vollständige Variante
Man kann Varianten und Einschränkungen der Allenschen Constraints suchen, die einen
sowohl vollständigen als auch polynomiellen Erfüllbarkeitstest erlauben. Eine solche Variante
haben wir bereits gesehen: Für eindeutige Allensche Constraints ist der Allensche
Kalkül vollständig.
Eine Variante ist die Menge der Relationen, die man durch eine Konjunktion von atomaren
Ungleichungen der Form x < y oder x = y repräsentieren kann, wobei x, y Endpunkte
von Intervallen sind. Hier kommt es darauf an, dass man keine Disjunktionen hat, die eine
Fallunterscheidung erzwingen.
Einen passenden Satz von Relationen gibt es:
Alle Basisrelationen, {d, o, s}, und {ŏ, f, d} und deren Konverse. d.h. {˘d, ŏ, ˘s}, und
{o, ˘f, ˘d}. Beachte, dass man noch weitere dazu nehmen kann.
Die Relation A{d, o, s}B z.B. kann man als Ungleichung über den Endpunkten ausdrücken:
Wenn A = [AA, AZ], B = [BA, BZ], dann entspricht obige Relation der Konjunktion
der Ungleichungen: AA < AZ, BA < BZ, AZ < BZ, BA < AZ
Eine Konjunktion von solchen Relationsbeziehungen ergibt in der Summe ein Constraint,
das eine Konjunktion von Ungleichungen der Endpunkte von Intervallen ist. Diese
Konjunktion kann man mittels transitivem Abschluss über die Endpunkte von Intervallen
vervollständigen. Dies geht in polynomieller Zeit. Wenn man eine Relation der Form
X < X erzeugt hat, dann ist das Constraint unerfüllbar. Ansonsten ist er erfüllbar, denn
die Endpunkte kann man mit topologischem Sortieren in eine lineare Reihenfolge bringen.
Insgesamt hat man gezeigt, dass der so definierte Kalkül auf den eingeschränkten Constraints
vollständig und polynomiell ist. Es gilt sogar, dass der Allensche Kalkül selbst auf
diesen Constraints vollständig ist (siehe z.B. (Nebel & Bürckert, 1995)).
Der Hintergrund der speziellen Klasse von Allenschen Constraints ist, dass sich diese
Klasse als Grund-Hornklauseln darstellen lassen. Hornklauseln sind Klauseln, die maximal
ein positives Literal haben. Hierbei ist ein Literal positiv, wenn es ein unnegiertes
Atom ist.
Für aussagenlogische Hornklauselmengen und auch für Grund-Hornklauselmengen
gilt, dass deren Erfüllbarkeit in polynomieller Zeit testbar ist.
A
B
Stand: 17. Januar 2013 214 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13