Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

6.5 Unvollständigkeiten des Allenschen Kalküls.
und C zu verändern, oder formaler: Wenn I(A) = [AA, AZ], I(C) = [CA, CZ], so dass
I(A R 3 C) = 1, dann gibt es eine Interpretation I ′ mit I ′ (A) = I(A), I ′ (C) = I(C) und
I ′ (A R 1 B) = 1, I ′ (B R 2 C) = 1. Als Teilausschnitt des Constraint-Netzwerks dargestellt:
A
R 3
R 1 R
B 2
C
Das der Allensche Abschluss die Pfadkonsistenz erfüllt ist klar, denn die Berechnung sichert
gerade R 3 ⊆ R 1 ◦ R 2 zu.
6.5 Unvollständigkeiten des Allenschen Kalküls.
Leider gilt:
Theorem 6.5.1. Der Allensche Kalkül ist nicht herleitungs-vollständig.
Beweis. Es genügt ein Gegenbeispiel anzugeben. Man benötigt vier Intervallkonstanten
A, B, C, D. Die Beziehungen sind:
D {o} B, D {s, m} C, D {s, m} A, A {d, ˘d} B, C {d, ˘d} B
Mit der kompositionellen Vervollständigung (nach Umdrehen) kann man aus
C {˘s, ˘m} D, D {s, m} A die Relation C {s, ˘s, ≡, o, ŏ, d, ˘d, f, ˘f} A schließen. Aus
A {d, ˘d} B, B {d, ˘d} C kann man nur schließen, dass alles möglich ist. Der Schnitt ergibt
somit C {s, ˘s, ≡, o, ŏ, d, ˘d, f, ˘f} A. Oder anders ausgedrückt: Für das Allensche Constraint:
D {o} B ∧ D {s, m} C ∧ D {s, m} A ∧ A {d, ˘d} B ∧ C {d, ˘d} B
ist der Allensche Abschluss:
D {o} B ∧ D {s, m} C ∧ D {s, m} A ∧ A {d, ˘d} B ∧ C {d, ˘d} B ∧ C {s, ˘s, ≡, o, ŏ, d, ˘d, f, ˘f} A
Betrachtet man aber genauer die Möglichkeiten auf der reellen Achse, dann sieht man,
dass in diesem speziellen Fall die Relation C {f, ˘f, o, ŏ} A nicht möglich ist. Die Lage von
B zu D ist eindeutig. Wir betrachten daher die Möglichkeiten wie A zu D und C zu D
liegen können. Da ergibt vier Fälle: (1) D s C und D s A; (2) D m C und D s A; (3) D s C
und D m A; (4) D m C und D m A. Dabei muss man noch die Bedingungen zwischen A zu
B und C zu B beachten (diese werden jedesmal eindeutig).
Die vier Fälle als Bilder dargestellt sind:
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 209 Stand: 17. Januar 2013