Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

2.3 A ∗ -Algorithmus
• Der Knoten K j wird expandiert. Dann wird K j+1 in Open eingefügt und erhält den
Wert g(K j+1 ) = g(K j ) + c(K j , K j+1 ) = g ∗ (K j ) + c(K j , K j+1 ) Dieser Wert muss
optimal sein, da ansonsten der Weg S → K 1 → . . . → K n nicht optimal wäre.
Lemma 2.3.10. Unter der Annahme, dass die Bedingungen aus 2.3.5 erfüllt sind, gilt: Wenn A∗
einen Zielknoten expandiert, dann ist dieser optimal.
Beweis. Nehme an S = K 0 → K 1 . . . K n = Z ist ein optimaler Weg. Angenommen,
ein Zielknoten Z ′ wird expandiert. Dann ist Z ′ der Knoten aus Open mit dem minimalen
f(Z ′ ) = g(Z ′ ) + h(Z ′ ) = g(Z ′ ). Betrachte den Knoten K j mit maximalem j aus
dem optimalen Weg, der noch in Open ist und mit g(K j ) = g ∗ (K j ) markiert ist (gem.
Lemma 2.3.9). Wenn Z = Z ′ und genau auf dem Weg erreicht wurde, dann ist genau
der optimale Weg S → K 1 → . . . → Z gefunden worden. Wenn K j ≠ Z ′ , dann gilt
f(K j ) = g(K j ) + h(K j ) ≤ d da h die Kosten bis zum Ziel unterschätzt. Da Z ′ expandiert
wurde, gilt f(Z ′ ) = g(Z ′ ) + h(Z ′ ) = g(Z ′ ) ≤ g(K j ) + h(K j ) ≤ d, und daher ist der
gefundene Weg optimal.
Lemma 2.3.11. Unter der Annahme, dass die Bedingungen aus 2.3.5 erfüllt sind, und ein Weg
vom Start zum Zielknoten existiert gilt: Der A ∗ -Algorithmus expandiert einen Zielknoten nach
endlich vielen Schritten.
Beweis. Seien d die Kosten des optimalen Wegs S = K 0 → K 1 . . . → K n = Z. Aufgrund
von Lemma 2.3.9 genügt es zu zeigen, dass jeder der Knoten K i nach endlich vielen Schritten
expandiert wird, oder ein anderer Zielknoten wird expandiert. Da stets ein K i in Open
mit Wert g(K i ) = g ∗ (K i ) markiert ist und g ∗ (K i ) + h(K i ) ≤ d gelten muss (die Heuristik
ist unterschätzend), werden nur Knoten L expandiert für die zum Zeitpunkt ihrer Expansion
gilt: g(L) + h(L) ≤ g ∗ (K i ) + h(K i ) ≤ d. Da g ∗ (L) + h(L) ≥ g(L) + h(L), gilt auch
g ∗ (L) + h(L) ≤ d für all diese Knoten L. Gemäß Bedingung 1 aus Definition2.3.5 kann es
daher nur endlich viele solcher Knoten L geben, die vor K i expandiert werden.
Aus den Lemmas 2.3.10 und 2.3.11 und Satz 2.3.8 folgt direkt:
Theorem 2.3.12. Es existiere ein Weg vom Start bis zu einem Zielknoten. Die Voraussetzungen
in Definition 2.3.5 seien erfüllt. Dann findet der A ∗ -Algorithmus einen optimalen Weg zu einem
Zielknoten.
Beachte, dass der A ∗ -Algorithmus auch einen anderen optimalen Weg finden kann, der
von K 1 , . . . , K n verschieden ist.
Beispiel 2.3.13. Für das Stadtplan-Beispiel können wir folgern, dass der A ∗ -Algorithmus im Falle
des Abstandsmaßes h(.), das die Luftlinienentfernung zum Ziel misst, einen optimalen Weg finden
wird. Hat der Stadtplan nur Straßen in zwei zueinander senkrechten Richtungen, dann kann man
auch die Rechtecknorm nehmen.
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 47 Stand: 1. November 2012