Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

2.3 A ∗ -Algorithmus
Beispiel 2.3.26. Die Suche eines kürzesten Weges im Stadtplan mit dem Luftlinienabstand als
Schätzfunktion ist monoton: Mit ll() bezeichnen wir den Luftlinienabstand. Es gilt wegen der
Dreiecksungleichung: ll(N, Z) < ll(N, N ′ ) + ll(N ′ , Z). Da der echte Abstand stets größer als
Luftlinie ist, gilt: ll(N, N ′ ) ≤ g(N, N ′ ), und mit der Bezeichnung h(·) := ll(·) gilt h(N) ≤
g(N, N ′ ) + h(N ′ ).
Dasselbe gilt für das Beispiel des gitterförmigen Stadtplans, bei dem man die Rechtecknorm
nimmt, da auch diese die Dreiecksungleichung erfüllt.
Man sieht auch, dass in einem quadratischen Stadtplan die Rechtecknorm besser informiert ist
als die Luftlinienentfernung.
Satz 2.3.27. es gelten die Voraussetzungen in Satz 2.3.12. Seien d die Kosten des optimalen Weges.
Seien h 1 , h 2 zwei monotone Schätzfunktionen, so dass h 2 besser informiert sei als h 1 .
Sei A 1 der A ∗o -Algorithmus zu h 1 und A 2 sei der A ∗o -Algorithmus zu h 2 .
Dann gilt: Alle Knoten N mit g ∗ (N) + h 2 (N) ≤ d die von A 2 expandiert werden, werden auch
von A 1 expandiert.
Beweis. Der A ∗o -Algorithmus stoppt erst, wenn er keine Knoten mehr findet, die unter
der Grenze sind. Ein Knoten N wird von A 1 expandiert, wenn es einen Weg von S nach
N gibt, so dass für alle Knoten M auf dem Weg die Ungleichung g ∗ (M) + h 2 (M) ≤ d gilt.
Da wegen h 1 (M) ≤ h 2 (M) dann g ∗ (M) + h 1 (M) ≤ d gilt, wird der Knoten auch von A 1
expandiert
Was macht man, wenn die Schätzfunktion nicht monoton ist? Im Fall einer unterschätzenden
Funktion h gibt es eine Methode der Korrektur während des Ablaufs des Algorithmus.
Angenommen, N hat Nachfolger N ′ und es gilt h(N) > g(N, N ′ ) + h(N ′ ). Nach Voraussetzung
ist der optimale Wert eines Weges von N zum Zielknoten größer als h(N). Wenn
es einen Weg von N ′ zu einem Ziel gäbe der besser als h(N) − g(N, N ′ ) ist, dann hätte
man einen Widerspruch zur Unterschätzung. Damit kann man h ′ (N ′ ) := h(N)−g(N, N ′ )
definieren. Danach gilt h(N) = g(N, N ′ ) + h ′ (N ′ ).
Beispiel 2.3.28.
h(A) = 7
A
1
4
S
1
2
B
h(B) = 8
1
5
C D
h(C) =3 h(D)=4
In diesem Beispiel sieht man, dass es vorkommen kann, dass ein Knoten im normalen A ∗ -
Algorithmus von Open nach Closed geschoben wird, aber danach nochmal nach Open bewegt wird,
Z
M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13 51 Stand: 1. November 2012