Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz - Goethe ...

6 Qualitatives zeitliches Schließen
Definition 6.1.5 (Semantik der Allen-Formeln). Eine Interpretation I bildet Intervallnamen
auf nicht leere Intervalle [a, b] ab, wobei a, b ∈ R und a < b. Die Erweiterung der Interpretation
auf Allensche Formeln berechnet einen Wahrheitswert (0 oder 1) und ist wie folgt definiert:
• Wenn A r B ein atomare Aussage ist und sei I(A) = [AA, AZ] und I(B) = [BA, BZ].
Dann gilt:
– r =≺: I(A ≺ B) = 1, gdw. AZ < BA
– r = m: I(A m B) = 1, gdw. AZ = BA
– r = o: I(A o B) = 1, gdw. AA < BA, BA < AZ und AZ < BZ
– r = s: I(A s B) = 1, gdw. AA = BA und AZ < BZ
– r = f: I(A f B) = 1, gdw. AA > BA und AZ = BZ
– r = d: I(A d B) = 1, gdw. AA > BA und AZ < BZ
– r =≡: I(A ≡ B) = 1, gdw. AA = BA und AZ = BZ
– r = ˘r 0 : I(A ˘r 0 B) = 1, gdw. I(B r 0 A) = 1
• Für komplexe Formeln gilt wie üblich:
– I(F ∧ G) = 1 gdw. I(F ) = 1 und I(G) = 1
– I(F ∨ G) = 1 gdw. I(F ) = 1 oder I(G) = 1.
– I(¬F ) = 1 gdw. I(F ) = 0
– I(F ⇐⇒ G) = 1 gdw. I(F ) = I(G)
– I(F ⇒ G) = 1 gdw. I(F ) = 0 oder I(G) = 1
Eine Interpretation ist ein Modell für eine Allen-Formel F , gdw. I(F ) = 1 gilt. Eine Allensche
Formel F ist:
• eine Tautologie, wenn jede Interpretation ein Modell für F ist.
• ein Widerspruch (inkonsistent), wenn es kein Modell für F gibt.
• erfüllbar, wenn es mindestens ein Modell für F gibt.
Eine Allensche Formel F folgt semantisch aus der Allen-Formel G, geschrieben als G |= F ,
genau denn wenn alle Modelle für G auch Modelle für F sind (d.h. falls I(G) = 1, dann gilt auch
I(F ) = 1). Zwei Allensche Formeln F, G sind äquivalent, gdw. F |= G und G |= F gilt.
6.2 Darstellung Allenscher Formeln als Allensche Constraints
6.2.1 Abkürzende Schreibweise
Will man mehrere mögliche Lagebeziehungen zwischen 2 Intervallen ausdrücken, so
kann man dies disjunktiv machen. z.B.
Stand: 17. Januar 2013 198 M. Schmidt-Schauß & D. Sabel, Skript KI, WS 2012/13