Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

More documents

Recommendations

Info

Residualer 0.4 0.3 0.2 0.1 122 0 -0.1 -0.2 -0.3 mest om å finne ut av hvorvidt disse er uavhengige. I tillegg skal de imidlertid ha forventning lik 0, ha konstant varians og være Normalfordelt. 1. At støyleddene har forventning lik 0 kan beskrives ved at de i gjennomsnitt er lik null. Hvis dette ikke er tilfellet vil modellen generere prognoser som er skjeve i positiv eller negativ retning. Gjennomsnittet selv er et estimat for forventningsverdien, med en viss usikkerhet. Derfor vil det i praksis ikke være akkurat lik 0. En test for å avdekke om gjennomsnittet er signifikant forskjellig fra 0 er gitt ved: Forkast hypotesen om at støyleddenes gjennomsnitt ikke er signifikant forskjellig fra 0 hvis dette gjennomsnittet i tallverdi er større enn 2 (27) der σ = standardavviket til støyleddene N = antall støyledd. 2. Som regel er variansen stabilisert under prosessen med å bringe tidsserien over på stasjonær form. I kapittel 5.1 så vi hvordan dette kunne gjøres ved å ln-transformere data. Skulle støyleddene vise seg å ha kontinuerlig økende eller avtagende varians, er dette m a o vanligvis et tegn på uriktig eller manglende datatransformasjon. I praksis bør en da gå tilbake og finne den riktige transformasjon. Alternativt er det i noen programpakker mulig å re-estimere modellen med en transformasjons-parameter, slik at den optimale transformasjonen framkommer. σ N -0.4 2/85 4/86 7/87 10/88 12/89 3/91 Figur 23 Residualplott for modell (22) Det er mulig å utføre tester på støyleddene for å avdekke hvorvidt variansen statistisk kan sies å være konstant. Dette går vi ikke inn på her. En enklere metode er å plotte ut støyleddene og visuelt avgjøre hvorvidt variasjonen i støyleddene kan sies å være konstant. 3. Å avgjøre hvorvidt støyleddene er Normalfordelte kan også avgjøres ved hjelp av tester. En enklere metode er å lage et histogram som samler støyleddene i frekvenssøyler på hver side av gjennomsnittet. Hvis formen på histogrammet ikke avviker vesentlig fra en Normalfordelingskurve, er dette en indikasjon på at vi kan se bort fra problemet. 4. I tillegg til disse forutsetningene var vi i kapittel 6.3 inne på at såkalte outliere kunne virke forstyrrende på estimerte verdier av parametrene og i verste fall påvirke hele modellstrukturen. Slike unormale observasjoner avdekkes lett ved å plotte alle støyleddene i et residualplott. Her plottes verdien til alle støyleddene på en akse med null som basisverdi. I tillegg viser plottet også grensene for to ganger estimert standardavvik – grensen for test av hvorvidt vi har flere store støyledd enn det som kan betraktes som tilfeldig. I praksis må da noe gjøres for at prognosemodellen ikke skal opptre med for stor usikkerhet. Det vanlige er å justere ekstreme observasjoner slik at støyleddet blir omtrent to ganger standardavviket. 8.6.1 Eksempel Vi tar igjen utgangspunkt i modell (22) og ser først på gjennomsnittet til støyleddene. Det er beregnet til -0,0119, dvs svært nær null. Ser vi på testen som gir uttrykk (27), har vi at for støyleddene (de transformerte og differensierte) er σ = 0,105 og N = 83. Dette gir 2 (28) σ = 0,023 2σ N -2σ Siden støyleddenes gjennomsnitt i tallverdi er mindre enn 0,023 kan vi altså ikke forkaste hypotesen om at dette gjennomsnittet ikke er signifikant forskjellig fra 0. Vi godtar derfor at -0,0119 er så nær null at forskjellen er neglisjerbar. I figur 23 er støyleddene plottet. I tillegg er grensene for to ganger støyleddenes estimerte standardavvik avmerket. På bakgrunn av dette er det ikke grunnlag for å si at støyleddene har kontinuerlig økende eller avtagende varians. Vi ser at det er 4 støyledd som er lik eller større enn to ganger standardavviket. I forhold til de 83 støyleddene er dette innenfor de akseptable 5 %. I praksis bør en likevel undersøke slike observasjoner. Spesielt gjelder dette når støyleddene er så store som støyledd nr 86 (-3,3σ). Hvis slike støyledd vesentlig påvirker verdiene til de estimerte parametere eller i verste fall hele modellstrukturen når de reduseres til ca to ganger σ, bør dette vurderes. Vi går ikke nærmere inn på dette her. Histogrammet for støyleddene viser at disse følger den typiske klokkeformen til en Normalfordeling. Det er m a o ingen grunn til å si annet enn at støyleddene oppfyller forutsetningen om Normalfordeling. 9 Prognoser Vi tar igjen utgangspunkt i modell (22): wt = at - 0,7966at-1 - 0,8421at-12 (22) La oss anta at vi skal lage prognose for periode t+1. Da har vi at wt+1 = at+1 - 0,7966at - 0,8421at-11 (29) Vi ser her at det eneste leddet som er ukjent på likningens høyre side er at+1 . Siden vi ikke kjenner verdien på framtidige støyledd må vi legge inn en forutsetning om verdien på at+1 . Under analysen som ledet fram til (22) forsikret vi oss om at alle støyleddene var tilfeldig fordelt (dvs ingen avhengighet mellom dem), at de hadde forventning lik null og at de var Normalfordelt. Skal vi gjette på en verdi på framtidige støyledd må det beste anslaget derfor bli 0, gitt at disse også i framtiden beholder de samme egenskaper. Prognosen en periode fram, innsatt at+1 = 0, blir derfor generert av: wt+1 = -0,7966at - 0,8421at-11 (30) Ønsker vi å lage prognoser for flere perioder fram er framgangsmåten tilsvarende: Vi setter inn forventet verdi lik null for alle framtidige støyledd.
I modell (22), som kun har MA-parametere, ser vi lett at prognosen for periode t+13 reduserer seg til wt+13 = 0 (31) Dette betyr ikke at prognosen for periode 13 og høyere er lik null: Når prognosene skal lages, må selvfølgelig w i alle perioder “nøstes” tilbake til y, dvs at differensieringene føres tilbake til den opprinnelige og ikke-differensierte form og ln-transformasjonen transformeres tilbake til de opprinnelige data. Sistnevnte gjøres ved å opphøye de ln-transformerte data med e = 2,7183 ... som grunntall. Dette regnestykket utføres normalt av statistikkpakkene. For en modell med AR-parametere vil vi også komme i den situasjon at framtidige verdier av forklaringsvariabelen inngår. Dette er imidlertid løst av det faktum at disse alltid vil være generert i prognosen for 1 eller 12 perioder (for sesongparametere) tidligere: Anta at vi har modellen wt = 0,5wt-1 + at (32) Når vi setter at+1 = 0, at+2 = 0, osv, er wt+1 = 0,5wt (33) wt+2 = 0,5wt+1 (34) . . . osv. Selve modellen ARIMA(0,1,1)x(0,1,1) har for øvrig fått navnet AIRLINE- modellen. Dette er fordi den første gang ble benyttet i en analyse som Box og Jenkins utførte, der de modellerte passasjertrafikk med fly. 9.1 Usikkerhet i prognosene Standardavviket til støyleddene er et mål på usikkerheten i den modellen vi har. I ARIMA-modeller er dette samtidig også et mål for usikkerheten i prognosen en periode fram. Ved å bygge videre på dette er det også mulig å utlede og beregne den forventede usikkerheten i prognosene 2, 3, 4, ..., osv perioder fram. Tilsvarende kan den samlede usikkerheten i f eks summen av 12 og 12 perioders-prognosen også beregnes. Ut fra dette kan deretter såkalte prediksjonsintervaller beregnes. Disse angir, med en viss sansynlighet, øvre og nedre grense for prognosene. Det vil imidlertid føre for langt å gå inn på det teoretiske fundamentet for dette i denne artikkelen. 9.2 Simulering For å få tiltro til en prognosemodell kan det i tillegg være lurt å simulere med modellen. Dette gjøres ved at vi lar modellen lage prognoser for observasjoner som vi allerede kjenner, f eks det siste året. Etterpå kan vi måle hvor godt modellen treffer med prognosene. Framgangsmåten er parallell med den måten som ulike prognosemodeller basert på ulike metoder blir sammenliknet. Det henvises til [9] som diskuterer dette. 9.3 Eksempel Vi lar modell (22) lage prognoser for 12 perioder framover, dvs for perioden januar 1992 – desember 1992. Prognosepakken MICRANAL, som for øvrig også er brukt under identifikasjon og estimering i eksemplene ovenfor, skriver også ut øvre og nedre grense for prognosenes usikkerhet, dvs prediksjonsintervall med 80 % signifikansnivå. Dette er referert i tabell 2. I tillegg gir tabell 2 estimert standardavvik for den usikkerheten som prediksjonsintervallene gjenspeiler. Hvis forutsetningen om Normalfordelte støyledd er oppfylt, viser dette det intervallet hvor vi forventer at 68 % av prognosefeilene vil ligge. Siden prognosevariabelen i (22) er ln-transformert er dette usikkerhetsmålet gitt i prosent. Vi ser tydelig at usikkerheten vokser ettersom vi går lengre og lengre ut i prognoseperioden: Vi forventer, med 68 % sannsynlighet, at prognosefeilen for januar vil ligge +/- 11,5 % fra prognosen på 4023 mottatte bestillinger på HA. Når prognosen for desember gis, er denne usikkerheten vokst til +/- 13,8 %. Usikkerheten vokser altså ikke dramatisk innenfor den valgte prognosehorisonten. I bunnen er prognosen for summen av prognosene vist med 80 % prediksjonsintervall. Det estimerte standardavvik for prognosefeilen er her gitt i absolutte tall. 30 10 Avsluttende merknader Innledningsvis ble det sagt at ARIMA-modellene er et godt redskap når de baseres på prinsippet om at få parametere skal anvendes. Dette er faktisk et viktig prinsipp i alle prognosemodeller: En modell som adekvat beskriver data med et minimum av parametere. Sammenhengen mellom AR- og MA-prosessene som ble nevnt i innledningen kommer altså til sin fulle rett i denne sammenheng. Når vi i tillegg kan beskrive en tidsrekke ved hjelp av kombinerte prosesser (ARMA-prosesser), utgjør disse modellene et meget fleksibelt og slagkraftig verktøy mht beskrivelse av avhengighetene i en tidsrekke. Det har ikke vært mulig å gå inn på alle finesser og sider ved ARIMA-modellene. Det henvises til gode lærebøker som [3], som går lengre enn det som er mulig i denne artikkelen. Dessuten har Televerkets Forskningsinstitutt utført et forskningsprosjekt hvor prognoser etter denne metoden var tema, se [5]. Det skal også nevnes at Box-Jenkins metode er videreutviklet slik at forklaringsvariable kan trekkes inn. Dette kalles på engelsk “Transfer function”-modeller. Slike modeller muliggjør forbedringer både i nøyaktighet og i forlengelse av prognosehorisonten. En annen videreutvikling er såkalte “Intervention”-modeller, som takler problemer i form av outliere, nivåskift o l. ARIMA-modellene er teoretisk svært tiltalende. Dessuten har de i praksis ofte gitt svært gode resultater. Likevel har nok metodens matematisk/statistiske kompleksitet til en viss grad bremset utbredelse og bruk av den. Før statistikkpakker tok metoden inn som standard analyseverktøy, krevde den at brukeren var skolert i relativt komplekse statistiskmetodiske sammenhenger. Antall observasjoner 24 20 15 19 10 0 1 1 5 9 4 3 1 1 -5σ -4σ -3σ -2σ -σ snitt σ 2σ 3σ 4σ 5σ Figur 24 Histogram for støyleddene 123
Page 2 and 3:
Innhold TEMA: Introduksjon, Kjell S
Page 5 and 6:
1 Utvikling av prognosearbeidet i T
Page 7 and 8:
- Prognoser for vanlig telefonabonn
Page 9 and 10:
De økonomiske beregninger som ligg
Page 11 and 12:
ment fra bedrifter. I tillegg er de
Page 13 and 14:
Tele-hjemmearbeid Kommunikasjon mel
Page 15 and 16:
observasjoner, fordi det er en ny t
Page 17 and 18:
1.nyttårsdag (x 10 000) 400 350 30
Page 19 and 20:
20 dere med antall abonnenter. niv
Page 21 and 22:
Indeks 220 200 180 160 140 120 100
Page 23 and 24:
menes at det statistisk ikke er tro
Page 25 and 26:
klassiske prognosemetoden i den fø
Page 27 and 28:
Tabell 6.3 Tidsrekker med forskjell
Page 29 and 30:
38 7.3 Enkel modellbygging Utgangsp
Page 31 and 32:
Når vi bruker minste kvadraters me
Page 33 and 34:
e t 0 99.9 Figur 7.13 Plott av resi
Page 35 and 36:
58 53 48 43 38 33 28 1 0.5 0 -0.5 -
Page 37 and 38:
sjonene eller utviklingen til y. Va
Page 39 and 40:
det kommunisere med. Dermed blir tj
Page 41 and 42:
1 og ved t med (1 - b) og summerer
Page 43 and 44:
i etterspørselen i påfølgende m
Page 45 and 46:
aggregerte prognosen er riktig. Ned
Page 47 and 48:
prognosene vil med sikkerhet ikke v
Page 49 and 50:
skyld, er lite, vil det også være
Page 51:
Ed: O D Anderson. Amsterdam, North
Page 54 and 55:
54 Diverse enkeltpersoner 16 Televe
Page 56 and 57:
Figur 3.3 Innhenting av informasjon
Page 58 and 59:
58 Selvbetjening over telenettet Tj
Page 60 and 61:
60 Det kan være vanskelig med noen
Page 62 and 63:
62 I TITAN-prosjektet ble det foret
Page 64 and 65:
64 Prosentandel av husstander 25 20
Page 66 and 67:
66 I N E T T E T Annullerte bestill
Page 68 and 69:
(x 100) 22 17 12 68 7 2 -3 01/87 +
Page 70 and 71:
periodene, skyldes at dette skjules
Page 72 and 73: 72 “givende” sentralen til den
Page 74 and 75: 74 spesielt er opptatt av forklarin
Page 76 and 77: 001.18:621.39 76 Glattingsmodeller
Page 78 and 79: 78 Tabell 2 De opprinnelige sesongo
Page 80 and 81: 80 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 y' t
Page 82 and 83: Tabell 3 Holts metode 82 År t Anta
Page 84 and 85: Tabell 5 Hvordan Holt-Winters addit
Page 86 and 87: (x 100) 20 15 10 86 5 0 antall abon
Page 88 and 89: Abonnement 540 520 500 480 460 88 n
Page 90 and 91: 90 ingsprosedyre som skal iterere s
Page 92 and 93: 92 forbedringer av modellen. Plott
Page 94 and 95: 94 Vi ser av (5.12) at variansen ti
Page 96 and 97: 96 Figur 7.2 Residualer fra lineær
Page 98 and 99: 98 Tabellen viser at alle parameter
Page 100 and 101: disse til å lage prognoser med. So
Page 102 and 103: 102 16 Bøe, J, Stordahl, K. Teller
Page 104 and 105: 200 180 160 140 120 100 80 60 40 Fi
Page 106 and 107: 106 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.8 0.6 0
Page 108 and 109: 108 Tabell 2 viser de historiske da
Page 110 and 111: 001.18:621.39 110 Box-Jenkins metod
Page 112 and 113: Standardavvik 600 550 500 450 400 S
Page 114 and 115: 114 AR-parametre og q MA-parametre
Page 116 and 117: 116 Figur 13 Autokorrelasjonsfunksj
Page 118 and 119: 118 Korrelasjonsverdi Vi ser av fig
Page 120 and 121: 120 Aksepter hypotesen om at parame
Page 124 and 125: 124 Referanser 1 Stordahl, K, Hjelk
Page 126 and 127: Tabell 1 Volum tellerskritt, abonne
Page 128 and 129: 128 Tabell 3a Prognose fra modell b
Page 134 and 135: 001.18:621.39 134 Prognoser for abo
Page 136 and 137: 136 Tabell 3 Analyse av støyledden
Page 138 and 139: 138 Tabell 5 Utskrift av prognosepr
Page 140 and 141: vi ikke diskutere her. Poenget er
Page 142 and 143: 142 prognosen. Da “beskjæres”
Page 144 and 145: 144 7 Stordahl, K. Prognosemetoder:
Page 146 and 147: Tabell 1 Oversikt over takstklassen
Page 148 and 149: 148 Tabell 5 Antall samtalesekunder
Page 150 and 151: 150 a) (x1000) 45 35 25 15 5 (x1000
Page 152 and 153: 152 Tabell 8 viser de avleste telle
Page 154 and 155: 154 Tabell 11 Komplett datasett med
Page 156 and 157: 001.18:621.39 156 Prognoser for nye
Page 158 and 159: 158 3.1 Vurderinger av foreliggende
Page 160 and 161: 160 passer utmerket, med relativt l
Page 162 and 163: 2B+D aksesser (x1000) 7 6 5 4 3 2 1
Page 164 and 165: 164 (x1000) 10 8 6 4 2 0 Tabell 6 I
Page 166 and 167: 001.18:621.39 166 Prognoser for pri
Page 168 and 169: 168 der ˆσ β* = ˆσ = ˆy t =
Page 170 and 171: n r (t) 90 % 10 170 1,00 0,80 0,60
Page 172 and 173:
ønsker å benytte disse metodene f
Page 174 and 175:
174 Remote router/ Bridge hand, the
Page 176 and 177:
176 Figure 5 ATM cell Bridge 48 byt
Page 178 and 179:
178 DTE less than 2 Mbit/s, Frame R
Page 180 and 181:
180 References 1 Mannsåker, B et a
Page 182 and 183:
182 Table of contents page Introduc
Page 184 and 185:
006 621.391 184 Signal processing B
Page 186 and 187:
006:681.324 006:681.327.8 186 Data
Page 188 and 189:
006 621.39 188 Teletraffic and dime
Page 190 and 191:
190 contractor. The project had a b
Page 192 and 193:
Table 2 ITU Recommendations for con
Page 194 and 195:
006 654.01:65 194 Telecommunication
Page 196 and 197:
006 196 Introduction EURESCOM is an
Page 198:
198 Intelligent networks 26 % Infra
show all

Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?