Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
40
10.1 Eksponentiell glatting
Denne metoden skal bare brukes når tidsrekken
er stasjonær – det vil si at det ikke
eksisterer noen trend i tidsrekken. Det
kan være hopp i tidsrekken, men det
antas at tidsrekken etter hvert hopp ligger
i et stabilt leie. Metoden kan ikke brukes
til å modellere sesongsvingninger.
Metoden er også kalt Browns metode
[25].
I eksponentiell glatting veies de tidligere
observasjonene eksponentielt med en
glattingsparameter a som har verdi
mellom 0 og 1. De relative vektene blir
da, sett fra siste observasjon og bakover i
tid:
1, a, a2 , a3 , ... (10.1)
Det stilles imidlertid et krav om at
summen av alle vektene skal være lik 1.
Summen av en eksponentiell rekke med
a som kvotient er lik 1/(1 - a). Følgelig
må hver av vektene deles med denne
summen. Vi får da følgende vekter som
allokeres til observasjonene:
(1-a),(1-a)a,(1-a)a2 ,(1-a)a3 , ... (10.2)
Figur 10.1 viser vektene når a er lik 0,5.
Det ses at når a = 0,5 blir vektene raskt
små. Det betyr at det spesielt er de siste
observasjonene som har betydning for
den videre utviklingen av tidsrekken.
Hadde a fått verdien 0,9, er det et tegn på
at tidsrekken er mer stabil og atskillig
flere observasjoner i større grad påvirker
videre utvikling. Dette ses også på vektingen
som er gitt i figur 10.2.
Den eksponentielle glattingsmodellen er
uttrykt ved:
ˆy t+1 =(1 − a)y t +(1 − a)ay t−1
+(1 − a)a 2 y t−2 +...
Her er y den glattede verdien ved tidspunkt
t+1.
(10.3)
En alternativ modellform som det er lettere
å foreta beregningen med, er:
ˆy t+1 =(1 − a)y + aˆy t
(10.4)
Dette kan uttrykkes verbalt på følgende
måte: Glattet verdi ved tidspunkt t + 1 er
lik (1 - a) ganger siste observasjon + a
ganger glattet verdi ved tidspunkt t.
Ved rekursiv utvikling av (10.4) kan det
vises at (10.3) og (10.4) er tilnærmet like
(og identiske hvis vi har med uendelig
antall ledd).
Den glattede verdien fra likning (10.4)
blir da også prognosen som vil være en
konstant størrelse uavhengig av tiden.
Dette fordi denne modellen skal brukes
på stasjonære tidsrekker.
Glattingsparameteren a bestemmes enten
ved å forsøke seg fram med ulike verdier
eller ved bruk av ikke-lineær estimeringsmetode.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
Figur 10.1 Eksempel på vekter i en eksponentiell glattingsmodell a = 0,5
10.2 Holts metode
Holts metode er en utvidelse av eksponentiell
glatting der det også inkluderes en
trend. Det betyr at denne metoden kan
brukes til å lage modeller av tidsrekker
som er ikke-stasjonære. Metoden kan
imidlertid ikke brukes på tidsrekker med
sesongsvingninger.
Modellene er bygget på et nivå som
endrer seg med tiden og på en trend eller
stigningskoeffisient som også endrer seg
med tiden. Disse størrelsene er betegnet
med:
- nivået, µ
- stigningen, β.
Vi forutsetter her at det er samme tidslengde
mellom hver observasjon. Stigningskoeffisienten
i denne sammenheng
er definert som hvor mye tidsrekken øker
(eller avtar) i løpet av en tidslengde. Dersom
vi eksempelvis har årlige observasjoner,
vil stigningskoeffisienten reflektere
årlig endring. Når nivået og stigningen
ved tidspunkt t er kjent, vil et
anslag for nivået ved tidspunkt t + 1 være
gitt som summen av nivået ved tidspunkt
t og stigningen ved tidspunkt t. Rent
matematisk kan dette skrives som:
µ t+1 = µ t + βt (10.5)
På samme måte som for eksponentiell
glatting oppdateres både nivået og stigningen
rekursivt. I metoden dobbel eksponentiell
glatting, som imidlertid ikke
omtales her, brukes en glattingsparameter.
I Holts metode, som er en mer
fleksibel metode, brukes to glattingsparametere.
Parameteren a benyttes til glatting
av nivået, og parameteren b brukes til
glatting av stigningen.
Glatting av nivået gjøres etter følgende
resonnement: Nivået ved tidspunkt t +1
kan uttrykkes ved likning (10.5), som da
er basert på tidligere observasjoner.
Imidlertid har vi også fått inn en observasjon
av tidsrekken ved tidspunkt t + 1.
Begge disse størrelser sier noe om nivået
ved tidspunkt t + 1. Analogt med hva
som ble gjort i eksponentiell glatting
multipliseres siste observasjon med (1 -
a) og det tidligere glattede nivå med a.
Vi får da følgende modell for oppdatering
av nivået på tidsrekken:
ˆµ t+1 =(1 − a)y t+1 + a( ˆµ t + ˆ β t )
(10.6)
På samme måte oppdateres stigningen.
Vi multipliserer anslaget for stigningen
som er differansen mellom nivået ved t +