Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

Prinsippet for eksponentiell glatting gikk
ut på å estimere µ't som den underliggende
forventede verdi på nivået ved tidspunkt
t. La som i eksponentiell glatting
tidsseriens forventningsverdi ved tidspunkt
t være µ t og rekursjonslikningen
blir da:
µ't = (1 - a) yt + aµ't-1 Her gis siste observasjon yt vekt (1-a) og
det tidligere beregnete nivået 't-1 gis
vekten a.
Hvis tidsrekken inneholder en trend, vil
den glattede verdien y't (som prognose
for framtidige perioder) generelt være for
lav eller for høy avhengig av om trenden
er positiv eller negativ, se eksempel i
avsnitt 3.1.2. Dette fordi funksjonen kun
tar hensyn til verdiene som er observert
tidligere og ikke til endringen mellom
verdiene. Derfor estimeres ikke en trend
for framtidige verdier. Hvis det er en
trend, bør den komme til syne i de glattede
verdiene.
Figur 7 viser data med trend som er
glattet ved hjelp av eksponentiell glatting.
Det vises der tydelig at kurven inneholder
en trend.
I Holts metode føres det inn en ekstra
parameter som beskriver trenden i tidsserien.
Trenden beskrives ved hjelp av
parameteren βt . βt vil være stigningskoeffisienten
til tidsserien ved tidspunkt t.
Dermed vil vi kunne beskrive en tidsserie
med trend på følgende måte:
yt = yt-1 + βt-1 yt-1 = yt-2 + βt-2 Vårt mål blir nå å finne en hensiktsmessig
måte å lage et godt estimat for yt ,
µ't . Dette må gjøres slik at vi også tar
hensyn til stigningskoeffisienten βt . Vi
tar da utgangspunkt i yt som er de
observerte verdiene. Under eksponentiell
glatting kom vi fram til funksjonen
µ't = (1 - a) yt + aµ't-1 og det er nå nødvendig å legge til en
faktor som beskriver trenden i tidsserien.
Uten å forklare for meget vil vi bare sette
opp funksjonsformelen og la denne tale
for seg. Intuitivt vil vi forstå at tidligere
estimert verdi for nivået må økes med
stigningen som tidsserien inneholder og
vi får dermed funksjonen:
µ't = (1 - a) yt + a(µ't-1 + β't-1 )
Spørsmålet er nå følgende:
Hvordan beregne et estimat for trendfaktoren
til formelen?
Den observerte trendfaktoren β t , kan
bestemmes ved å ta differansen mellom
y t og y t-1 .
β t = y t - y t-1
Brukes dette estimatet for trenden i tidspunkt
t vil vi få et dårlig estimat hvis det
er store variasjonen i trenden. Vi velger
heller å bruke endringen i de estimerte
nivåene i stedet. Altså bytter vi ut y t med
µ' t og får følgende uttrykk:
β t = µ' t - µ' t-1
Det må her gjøre klart at βt er å betrakte
som en verdi på siste observerte trend, og
ikke den estimerte trendfaktoren β't .
Vi har nå “observert verdi på trenden” og
kan sette sammen en funksjon basert på
eksponentiell glatting.
β't = (1-b)βt + bβ't-1 β' t = (1-b)(µ' t - µ' t-1 ) + bβ' t-1
b er her en parameter, slik som a, som
skal ligge mellom 0 og 1 og som angir
hvor mye siste observasjon for trenden
skal veie i forhold til de tidligere.
4.1 Oppsummering
Når en tidsrekke inneholder en trend
beregnes glattingen basert på Holts
metode med følgende to formler:
µ't = (1 - a) yt + a(µ't-1 + β't-1 )
β' t = (1-b)(µ' t - µ' t-1 ) + bβ' t-1
Tabell 3 viser hvordan dette gjøres på en
forenklet tidsserie som beskriver årlig
vekst i hovedabonnement og hvordan
prognosen fire år fram utvikler seg. a =
0,5, b = 0,6.
Tabell 3 viser hvordan Holts metode
fungerer.
4.2 Prognosemodell,
Holts metode
Prognosemodellen basert på Holts
metode kan uttrykkes enkelt på følgende
matematisk form:
Ft+m = µ't + mβ't Ut fra denne formelen ser vi at prognosen
er en fast stigning som vil endre seg når
nye observasjoner kommer til. µ't og β't finnes ved hjelp av rekursjonsformelen
som er beskrevet tidligere.
Intuitivt vil vi forstå at har vi en tidsserie
som er voksende vil vi i prognosene få en
økende verdi med konstant trend. Har vi
for eksempel en tidsserie som inneholder
sesong vil det være naturlig å anta at
kurven, observasjonene i framtiden, vil
inneholde sesong også i framtiden. Konklusjonen
blir altså at en prognosemodell
basert på Holts metode ikke vil være
aktuell å bruke på andre tidsserier enn de
som inneholder en lineær trend og ikke
sesongkomponenter.
4.2.1 Eksempel
For å kunne vise Holts metode som prognosemetode
rekapitulerer vi forrige talleksempel
hvor vi i tillegg får inn beregning
av prognosene framover. Historikken
er fra 1982 til 1990 og prognosen fra
1991 til 1992.
Tabell 4 viser hvordan Holts metode
fungerer når en prognose skal konstrueres.
Denne tabellen kan ses på som en
fortsettelse av tabell 3.
Figur 8 viser observerte verdier og glattede
verdier, samt prognose.
La oss ta tre forskjellige tidsserier hvor
én er med trend og sesong, én er med
trend og uten sesong (lineær trend), og én
uten trend og sesong (stasjonær). På alle
tidsseriene bruker vi Holts metode med
glattingskonstanter a = 0,3 b = 0,5.
I figur 9 ser vi at prognosen ville blitt en
negativ kurve fordi data inneholder en
(x 1000)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
observert verdi
a = 0.9
0
1 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Figur 7 Data med trend som er glattet ved hjelp av eksponentiell
glatting
81