Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

ln M
⎛ 1 ⎞
⎛ ⎞ g
⎜
⎜
⎝ y
⎟ −1⎟
= a + b ⋅t + c ⋅ Bef
⎜ t ⎠ ⎟
⎝ ⎠
(4)
Som vi ser av (4) er nå høyresiden i denne
likningen lineær i a, b og c. Vi har med
andre ord oppnådd å transformere den
ikke-lineære modellen (2) til en lineær
modell, og da kan vi benytte lineær regresjon
for å estimere a, b, og c.
Ser vi på venstre side av (4), er dette et
relativt komplisert uttrykk. Vi kjenner
imidlertid verdiene for y, M og g. M og g
er konstanter og for hver verdi av y får vi
en verdi for “venstre side”. Dermed kan
venstre side oppfattes som en egen variabel
som vi kan kalle y*. (4) kan da
skrives som:
y* = a + b⋅t + c⋅Bef (5)
der
y* = ln M
y t
⎛ 1 ⎞
⎛ ⎞ g
⎜ ⎟
⎜⎜
⎟ −1⎟
⎜⎝
⎠ ⎟
⎝ ⎠
Likning (5) blir altså regresjonslikningen
(med tillegg av et støyledd) som benyttes
til estimering av a, b og c.
Tilsvarende transformasjon gjøres også
før a og b estimeres i modellen for forretningsabonnements-etterspørselen,
(3). På
tilsvarende måte får vi da:
y* = a + b⋅t (6)
der y* er det samme som for (5) ovenfor
(men med de verdier for y, M og g som
tilhører (3)). Dette blir altså regresjonslikningen
som benyttes for estimering av
a og b i (3) (med tillegg av et støyledd).
Det lar seg også gjøre å estimere direkte
på (2) og (3). Da må vi imidlertid benytte
ikke-lineære estimeringsmetoder, som er
kompliserte og i praksis må spesialkonstrueres
til denne modellformen. I
Region Oslo benytter vi oss ikke av slike
metoder, siden vi i dette tilfellet kan
“lineær-transformere” modellene.
Etter at parametrene a, b, og c i (5) og a
og b i (6) er estimert, settes disse verdiene
inn i (2) og (3). Dermed kan vi
sjekke hvor godt modellen beskriver den
historiske utvikling. Med framtidige
anslag for t (den er sikker) og Bef (dette
er en prognose med en viss usikkerhet)
kan vi så lage modellprognoser for de to
abonnements-etterspørselene.
Det programmet vi benytter, gir en
utskrift som er vist i tabell 5.
Tabell 5 viser, foruten historiske data og
prognoser for abonnementsutviklingen
fordelt på bolig- og forretningsabonnement,
også noen modelltekniske
indikatorer:
- Parameterestimat for ALFA (konstanten
a i nevnernes eksponent, se
modellene (2) og (3)
- BETA1 (angir modellenes vektlegging
av tiden som forklaringsfaktor, ref
parameter b i nevnernes eksponent)
- BETA2 (angir boligabonnementsmodellens
vektlegging av befolkningsutviklingen
som forklaringsfaktor, ref
konstanten c i (2)
- Den multiple korrelasjonskoeffisient
(R^2) og
- Standardavviket rundt regresjonslinjen
(3) og regresjonsplanet (2), (S).
Som vi ser, viser begge modellene meget
god tilpasning til historiske data, med
R^2 godt over 0,99. Dessuten viser
standardavvikene, S, meget tilfredsstillende
verdier i forhold til verdiene i data.
Statistiske indikatorer utover dette må vi
søke i andre statistikkpakker. Vi går
imidlertid ikke dypere inn på dette her.
Modellen for boligabonnements-etterspørsel
ser nå slik ut, når vi setter inn
verdiene for konstantene M og g og de
estimerte parametre:
400000
yt =
(1 + e 13,94508−0,00002Bef ) 20000
Modellen for forretningsabonnementsetterspørsel
ser slik ut, når vi setter inn
verdiene for konstantene M og g og de
estimerte parametre:
250000
yt =
(1 + e 130,445−0,07075t ) 20000
(7)
(8)
Ser vi på verdiene for de estimerte parametrene
blir vi fort slått av de lave og
negative verdiene for BETA-ene. Spesielt
er boligabonnements-modellens
BETA2 svært lav (-0,00002).
Fortegnet på BETA-ene er i begge modellene
“riktig” bestemt. At dette er tilfellet
kan vi se direkte av f eks (2): Med
positive verdier på b og c, vil eksponenten
i nevneren stadig vokse når t og
Bef vokser. Dermed vokser også hele
nevneren med økende verdier på t og Bef.
At nevneren i en brøk stadig vokser,
betyr at hele brøken, når telleren er en
konstant, går mot null! Er imidlertid b og
c negative, betyr det at eksponenten i
Tabell 4 Befolkningsmengden (18+) og
beregnet fordeling av TAT på bolig og forretning.
Region Oslo
Region Oslo
År Befolk- Bolig- Forr.
ning abonn. abonn.
1982 513820 245517 82324
1983 516714 255298 86692
1984 521602 266186 90744
1985 527573 278119 98744
1986 533344 289505 106494
1987 539041 300222 112850
1988 543481 306219 119421
1989 546049 311314 125079
1990 550376 317111 131347
nevneren avtar med voksende verdier på
t og Bef. Da går e opphøyd i eksponenten
mot null og dermed hele nevneren mot 1.
Den totale effekten på (2) blir m a o at
funksjonen går mot M (og det er jo meningen!).
At verdiene er så små (i absoluttverdi) er
også “riktig” fordi nivået på verdiene til
forklaringsfaktorene er høye: Den
estimerte parameter skal multipliseres
med den tilhørende forklaringsfaktor når
modelltilpasning og prognoser skal
regnes ut.
I tillegg gir utskriften en oversikt over
regionens historiske og prognostiserte
utvikling for total etterspørsel etter TAT
fordelt på bolig og forretning, SSBs historiske
og prognostiserte befolkningsutvikling,
boligabonnementstettheten
(Bol/Bef) og totaltilknyttingstettheten
(Tot/Bef).
2.3 Holt-Winters metode
Som nevnt er det også utviklet modeller
for den månedlige etterspørsel etter
abonnement. Generelt er dette viktig
fordi vi da utnytter informasjon utover
det som årsdata gir oss. Spesielt viktig er
dette ved revisjonen av prognosene etter
halvgått år. Da bidrar ikke årsdata med
ytterligere informasjon: Det er i månedsutviklingen
vi må søke hjelp.
Vi har her valgt å vise et eksempel med
Holt-Winters additive modell2 . På generell
form kan denne prognosemodellen
skrives som:
137