Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

e t
0
0
y t
e t
32
Figur 7.9 Plott av residualer med økende varians
Figur 7.10 Plott av residualer med en outlier
y t
observasjon outlier
modell
Figur 7.11 Modell der det ikke er tatt hensyn til outlier
observasjon outlier
modell
Figur 7.12 Modell der det er tatt hensyn til outlier
t
t
fordelt slik at de tilfredsstiller de
gitte krav.
7.5 Transformasjoner
Det første som bør gjøres før vi
starter med å analysere og modellere
en tidsrekke, er å studere forløpet
til tidsrekken. Vi får da et
visuelt bilde av tidsrekken som
kan fortelle mye.
Spesielt må vi være oppmerksom
på om tidsrekkens variasjon øker
med tiden. Dersom det er slik at
selve tidsrekken øker med tiden
samtidig som variasjonen øker
med tiden, er det grunnlag til å
anta at forutsetningen om at variansen
til tidsrekkens støy er konstant,
ikke er tilfredsstilt.
Dette undersøkes ved et variasjons-gjennomsnittsplott.
Observasjonene deles da opp i
grupper. I hver gruppe foretas det
en beregning av gjennomsnittet og
variasjonen på observasjonene.
Variasjonen defineres her som
differansen mellom laveste og
høyeste observasjon i gruppen.
Disse verdiene plottes så i en
todimensjonal figur der gjennomsnittet
er angitt på den ene aksen
og variasjonen på den andre
aksen.
Dette illustreres nå på et sett med
kvartalsvise observasjoner.
Totalt har vi 40 observasjoner over
en 10-årsperiode. Gjennomsnittet
for hvert år og variasjonen (differansen
mellom høyeste og laveste
verdi) er angitt til høyre i tabellen.
Det er viktig at de gruppene som
det regnes ut gjennomsnitt og
variasjon for, er observasjoner
over en hel sesong, slik at vi får
med alle variasjonene over året.
Dersom det er kvartalsvise
observasjoner blir det 4 observasjoner
i hver gruppe. Dersom det
er månedlige observasjoner blir
det 12 observasjoner i hver
gruppe. Observasjonene må
grupperes på denne måten, ellers
kan vi få uheldige grupperinger.
Anta eksempelvis at vi i tabell 7.1
grupperte observasjonen i grupper
på 3. Vi ser av tabellen at
observasjonene i kvartal 2 er høyere
enn for de øvrige månedene.
Dersom vi grupperer observasjonene
3 og 3, vil vi i noen av grupp-
ene ikke ha observasjoner fra kvartal 2.
Dette forårsaker at variasjonen i gruppen
blir betraktelig lavere – noe den ikke
skulle vært. Dette skyldes imidlertid en
uheldig gruppering av observasjonene.
Vi kan nå se nærmere på variasjonsgjennomsnittsplottet
for observasjonene i
tabell 7.1.
Vi ser av figuren at når gjennomsnittet
øker, så øker også variasjonen i observasjonene.
Dette er også illustrert ved den
linjen som er trukket opp i figuren.
Dette betyr at forutsetningen om konstant
varians i tidsrekken ikke er tilfredsstilt.
Det er derfor grunnlag for gjøre noe med
tidsrekken for bedre å kunne imøtekomme
kravet.
Det som vanligvis gjøres, er å transformere
tidsrekken for å dempe variasjonen.
Det finnes en rekke transformasjoner
som kan brukes. De viktigste transformasjonene
er den logaritmiske transformasjon
og kvadratrot-transformasjonen. Det
finnes for øvrig en klasse transformasjoner
kalt Box-Cox transformasjoner,
men i dette kompendiet vil vi begrense
oss til de mest vanlige transformasjonene.
La oss nå foreta en logaritmisk transformasjon
av de kvartalsvise observasjonene
i tabell 7.1. Vi får da:
ln 35 = 3,56
ln 52 = 3,95
ln 28 = 3,33
ln 33 = 3,50
ln 38 = 3,64
.
.
.
ln 42 = 3,74
Den originale tidsrekken og den transformerte
tidsrekken er vist i figur 7.16 og
7.17.
Det ses av figur 7.17 at variasjonen i tidsrekken
øker med økende nivå i tidsrekken.
I figur 7.18 er tidsrekken transformert
ved bruk av logaritmisk transformasjon,
og vi ser at variasjonen i tidsrekken
er dempet. I dette tilfelle har den
logaritmiske transformasjonen hatt en
god effekt.
Til slutt vises det eksempel på et variasjons-gjennomsnittsplott
i figur 7.19, der
variasjonen ikke øker med gjennomsnittet.
Dersom punktene som er
avmerket i figuren ikke varierer etter et
mønster, men er mer eller mindre tilfeldig
fordelt slik som vist på figuren, er