Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

More documents

Recommendations

Info

92 forbedringer av modellen. Plott på tidsaksen av residualene er et svært viktig plott. Dette vil i mange fall angi strukturer som ikke er lagt inn i modellen. Se [12]. Normalfordelingsplottet er også viktig. Dette viser om støyleddet tilfredsstiller en Normalfordeling. Et variasjons gjennomsnittsplott kan også være nyttig: Det viser i hvilken grad variansen/ standardavviket til residualene øker med gjennomsnittsverdien. Ifølge forutsetningen skal vi ikke ha noen økning her. Se [11] hvor dette er anvendt. I mange tilfeller vil også plott av residualene som funksjon av tiden kunne avdekke dette. 5.1 Multippel korrelasjonskoeffisient La oss se på tilfellet for regresjon med en forklaringfaktor. Bruker vi y som avhengig variabel og x som forklaringsvariabel, er den lineære modellen gitt ved yt = α + βxt + εt (5.1) Vi kaller så de estimerte verdier for y for t , og disse er de verdiene vi får for yt når vi setter inn de estimerte verdier for α og β, dvs og , og den verdi vi har for forklaringsvariabelen. ˆ ˆα β ˆy t ˆy t = ˆα + ˆ βx t (5.2) De realiserte verdier av støyen, dvs residualene, kaller vi et . Da har vi at (5.3) De observerte yt kan altså splittes i en modellforklart del og en uforklart del et . La oss så trekke fra gjennomsnittet av y-verdiene, , på hver side av likhetstegnet. Da får vi (5.4) ( y y t − y )=( ˆy t − y )+ et ˆy t yt = ˆy t + et og dette uttrykker den samme oppdelingen, men nå som avvik fra gjennomsnittet, siden gjennomsnittet til de observerte y-ene og de estimerte y-ene er like (det kan vises) og gjennomsnittet av residualene er lik 0. Vi tar nå kvadratet på begge sider og summerer over alle n observasjonene. Da får vi n ( y ∑ t − y )2 = ( ˆy t − y ) 2 2 ∑ + ∑et t=1 n t=1 t=1 (5.5) siden det kan vises (vi gjør ikke det her) at kryssproduktet mellom (y t - y) 2 og e t er lik null. (5.5) kan med ord uttrykkes som: n Total variasjon = Forklart variasjon + Uforklart variasjon Hvis vi dividerer (5.5) på begge sider med kvadratsummen på venstre side får vi: n ( yt − y ) 2 ∑ t=1 n ( yt − y ) 2 ∑ t=1 n ( ˆy t − y ) = 2 ∑ t=1 ( yt − y ) 2 2 ∑et t=1 + n ∑ ( yt − y ) 2 n ∑ t=1 (5.6) Her er det første ledd på høyre side i (5.6) som beskriver den forklarte variasjonen, og dette leddet blir kalt R2 : n R 2 ( ˆy t − y ) = 2 ∑ t=1 ( yt − y ) 2 n ∑ t=1 t=1 (5.7) Den multiple korrelasjonskoeffisienten, R, er definert som kvadratroten til R2 . Utledningen ovenfor lar seg lett utvide til det generelle tilfellet med flere forklaringsfaktorer. Vi ser at venstre side i (5.6) er lik 1. Altså må R2 alltid være mindre enn eller lik 1. Altså ligger R mellom -1 og 1. R2 = 1 betyr at vi har perfekt tilpasning til data mens R2 = 0 betyr at vi ikke har noen korrelasjon mellom modell og data. Er R = 0,85 betyr dette at 85 % av variasjonen i yt er forklart ved hjelp av modellen. I tillegg er det to egenskaper ved den multiple korrelasjonskoeffisienten som er viktige å huske: 1. Koeffisienten har ingen klar tolkning hvis konstantleddet utelates. 2. Koeffisienten har en tendens til å stige i verdi hvis vi øker antall forklaringsvariable. 5.2 Signifikanstest på hver enkelt parameter (t-verdi og/eller sannsynlighetsnivå) Det er i utgangspunktet ønskelig at alle parameterestimater er statistisk signifikante. En vanlig måte å teste dette på er ved de såkalte t-verdier, som er verdien på parameterestimatet dividert med det estimerte standardavvik. En tommelfingerregel for den såkalte t-testen sier da: n Aksepter hypotesen om at parameterestimatet er signifikant forskjellig fra 0 hvis t-verdien er større enn 2. Teoretisk vil en test med 95 %-signifikansnivå (oppgis også ofte som 5 % signifikansnivå), dvs at den vil være riktig i 95 av 100 tilfeller, ha grenseverdien 2,06 ved 25 observasjoner. Når antall observasjoner går mot uendelig, avtar denne grenseverdien mot 1,96. En annen måte å se denne testen på er å ta utgangspunkt i parameterens estimerte verdi og så trekke fra og legge til 2 ganger det estimerte standardavviket. Hvis det intervallet som da fremkommer ikke dekker verdien 0, er estimatet signifikant forskjellig fra 0. 5.3 Standardavviket til residualene Standardavviket til residualene måler usikkerheten i den uforklarte delen av modellen. Denne usikkerheten påvirker også usikkerheten i de prognoser som modellen generer. I utgangspunktet søker vi den modellen som har minst usikkerhet. Dermed blir standardavviket til residualene også et viktig mål for sammenlikning av ulike forslag til modell, selv om dette i praksis bare blir ett av flere mål. 5.4 Durbin-Watson test En av de fire sentrale forutsetningene for støyleddene i en regresjon er at det ikke skal være noen avhengighet mellom de ulike støyleddene, se forutsetning iii) i kapittel 3. Hvis det er en slik avhengighet, sier vi at støyleddene er autokorrelerte. Dette medfører at alle varianser for parameterestimatene (og kovarianser mellom disse) undervurderes, noe som leder til overoptimistiske t-verdier og multiple korrelasjonskoeffisienter. En observator som kan brukes til å teste hvorvidt det er autokorrelasjon i påfølgende residualer, også kalt 1. ordens autokorrelasjon, er den såkalte Durbin-Watson observatoren. Den er gitt ved n (et − et−1 ) d = 2 ∑ t=2 n ∑ t=1 2 et (5.8) For at vi skal kunne konkludere med at residualene ikke er autokorrelerte sier testen at d ikke skal ligge så langt unna 2. Imidlertid er det et problem at testen har
områder som ikke gir noen konklusjon. Dette ses av figur 5.1. I figuren er dN nedre grense mens dØ er øvre grense. Grenseverdiene avhenger av hvor mange parametere som er estimert og hvor mange observasjoner vi har, og finnes i tabeller som ikke er gjengitt her. Se f eks [14] for en slik tabell. 5.5 Autokorrelasjonsfunksjonen I de tilfellene vi ikke får noen konklusjon fra testen med Durbin-Watson observatoren, eller vi har mistanke om autokorrelasjon av høyere orden, dvs avhengighet mellom residualer med større avstand enn en, kan vi se på autokorrelasjonsfunksjonen, som måler korrelasjonen mellom residualene i så stor avstand som vi måtte ønske. Den generelle autokorrelasjonsfunksjonen i avstand k, rk , er definert som n ∑(et − e )(et+k − e ) t=1 r k = ( et − e ) 2 n ∑ t=1 (5.9) Autokorrelasjonsfunksjonen er en normalisert variabel som antar verdier mellom -1 og 1. rk testes mot 2 ganger standardavviket, σ, gitt ved (den forenklede formelen) σ = (5.10) 1 n Verdier av rk som er høyere enn 2σ anses som signifikante. Se for øvrig [12] og [11] for en mer detaljert beskrivelse av autokorrelasjonsfunksjonen. En test som sjekker hvorvidt det er autokorrelasjon i alle autokorrelasjonsfunksjonene samlet er basert på Kji-kvadrat observatoren: k Q = n r2 k=1 hvor ∑ (k) (5.11) k = antall autokorrelasjoner, dvs antall lag n = antall støyledd r(k) = autokorrelasjonen for avstand k mellom støyleddene. En tommelfingerregel gir følgende test: Hvis Q er omtrent like stor som antall frihetsgrader, eller lavere, er det ingen indikasjoner på avhengighet i støyleddene. Antall frihetsgrader er her gitt ved antall autokorrelasjoner som beregnes minus antall parametere som er estimert i modellen. 5.6 Korrelasjonsmatrise for parametrene Det er ønskelig, men slett ikke alltid mulig, å oppnå estimerte parametere som ikke er avhengige av hverandre. Hvis noen av forklaringsvariablene utvikler seg tilnærmet likt sier vi at vi har multikolinearitet, og da har estimeringsmetoden minste kvadraters metode problemer med å skille effektene av de ulike forklaringsfaktorene. Resultatet er parameterestimater med svært stor usikkerhet. Det klassiske tegnet på multikolinearitet er store standardavvik på parameterestimatene kombinert med høy verdi på den multiple korrelasjonskoeffisienten. Dette betyr at forklaringsvariablene er høyt korrelert med den avhengige variabelen, men at vi ikke kan si hvilken. Hvis vi finner at en av to forklaringsvariable er signifikant når vi utelater den andre, men at begge er ikke-signifikante når begge er inkludert i regresjonslikningen, er dette også et tegn på multikolinearitet. Løsninger på dette problemet kan være å øke antall observasjoner (hvis det er mulig) eller å utelate en av forklaringsfaktorene. “Ridge-regresjon” er en metode som korrigerer for høy grad av multikolinearitet. Vi går imidlertid ikke nærmere inn på dette her. Korrelasjonsmatrisen er et hjelpemiddel som kan hjelpe oss å avgjøre om multikolinearitetsproblemer er til stede. Den viser korrelasjonen, målt ved kovariansen mellom parameterestimatene. 5.7 Prediksjons- og konfidensintervall Et konfidensintervall sier noe om hvor sikker beskrivelsen av den historiske utvikling er, mens et prediksjonsintervall sier noe om hvor sikker prognosen er. Vi skal her konsentrere oss om usikkerheten i prognosene. Her er det to kilder til usikkerhet: 1. Alle β-parametrene i regresjonslikningen er estimerte, dvs vi kjenner ikke de eksakte verdier for disse. Imidlertid er det slik at jo flere observasjoner vi har, desto sikrere er de estimatene vi bruker. 2. I tillegg har vi i prognoseperioden en usikkerhet på grunn av støyleddet. Selv om vi kjente de eksakte verdier for β-parametrene ville vi ikke være i stand til å gi perfekte prognoser for yt pga støyleddet. I tilfellet med en forklaringsvariabel, x t , kan det vises at den totale usikkerheten i prognosene, dvs summen av usikkerhetene i 1. og 2. ovenfor, gitt ved variansen til prognosene, s p 2 , kan skrives som: 2 2 1 s = s 1 + p n + ( x p − x ) 2 ( xt − x ) 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎜ ∑ ⎟ ⎝ t=1 ⎠ s Her er , 2 = 1 n 2 ∑( yt − ˆy t ) n − 2 t=1 (5.12) dvs variansen til støyleddet n = antall observasjoner = estimert (modelltilpasset) verdi av yt p = prognoseperiode 1 n x = ∑ xt n ˆy t Positiv Ingen konklusjon Ingen Ingen konklusjon Negativ autokorrelasjon autokorrelasjon autokorrelasjon 0 d N d Ø 2 4-d Ø 4-d N 4 Figur 5.1 Grenser for test med Durbin-Watson observatoren t=1 93
Page 2 and 3:
Innhold TEMA: Introduksjon, Kjell S
Page 5 and 6:
1 Utvikling av prognosearbeidet i T
Page 7 and 8:
- Prognoser for vanlig telefonabonn
Page 9 and 10:
De økonomiske beregninger som ligg
Page 11 and 12:
ment fra bedrifter. I tillegg er de
Page 13 and 14:
Tele-hjemmearbeid Kommunikasjon mel
Page 15 and 16:
observasjoner, fordi det er en ny t
Page 17 and 18:
1.nyttårsdag (x 10 000) 400 350 30
Page 19 and 20:
20 dere med antall abonnenter. niv
Page 21 and 22:
Indeks 220 200 180 160 140 120 100
Page 23 and 24:
menes at det statistisk ikke er tro
Page 25 and 26:
klassiske prognosemetoden i den fø
Page 27 and 28:
Tabell 6.3 Tidsrekker med forskjell
Page 29 and 30:
38 7.3 Enkel modellbygging Utgangsp
Page 31 and 32:
Når vi bruker minste kvadraters me
Page 33 and 34:
e t 0 99.9 Figur 7.13 Plott av resi
Page 35 and 36:
58 53 48 43 38 33 28 1 0.5 0 -0.5 -
Page 37 and 38:
sjonene eller utviklingen til y. Va
Page 39 and 40:
det kommunisere med. Dermed blir tj
Page 41 and 42: 1 og ved t med (1 - b) og summerer
Page 43 and 44: i etterspørselen i påfølgende m
Page 45 and 46: aggregerte prognosen er riktig. Ned
Page 47 and 48: prognosene vil med sikkerhet ikke v
Page 49 and 50: skyld, er lite, vil det også være
Page 51: Ed: O D Anderson. Amsterdam, North
Page 54 and 55: 54 Diverse enkeltpersoner 16 Televe
Page 56 and 57: Figur 3.3 Innhenting av informasjon
Page 58 and 59: 58 Selvbetjening over telenettet Tj
Page 60 and 61: 60 Det kan være vanskelig med noen
Page 62 and 63: 62 I TITAN-prosjektet ble det foret
Page 64 and 65: 64 Prosentandel av husstander 25 20
Page 66 and 67: 66 I N E T T E T Annullerte bestill
Page 68 and 69: (x 100) 22 17 12 68 7 2 -3 01/87 +
Page 70 and 71: periodene, skyldes at dette skjules
Page 72 and 73: 72 “givende” sentralen til den
Page 74 and 75: 74 spesielt er opptatt av forklarin
Page 76 and 77: 001.18:621.39 76 Glattingsmodeller
Page 78 and 79: 78 Tabell 2 De opprinnelige sesongo
Page 80 and 81: 80 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 y' t
Page 82 and 83: Tabell 3 Holts metode 82 År t Anta
Page 84 and 85: Tabell 5 Hvordan Holt-Winters addit
Page 86 and 87: (x 100) 20 15 10 86 5 0 antall abon
Page 88 and 89: Abonnement 540 520 500 480 460 88 n
Page 90 and 91: 90 ingsprosedyre som skal iterere s
Page 94 and 95: 94 Vi ser av (5.12) at variansen ti
Page 96 and 97: 96 Figur 7.2 Residualer fra lineær
Page 98 and 99: 98 Tabellen viser at alle parameter
Page 100 and 101: disse til å lage prognoser med. So
Page 102 and 103: 102 16 Bøe, J, Stordahl, K. Teller
Page 104 and 105: 200 180 160 140 120 100 80 60 40 Fi
Page 106 and 107: 106 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.8 0.6 0
Page 108 and 109: 108 Tabell 2 viser de historiske da
Page 110 and 111: 001.18:621.39 110 Box-Jenkins metod
Page 112 and 113: Standardavvik 600 550 500 450 400 S
Page 114 and 115: 114 AR-parametre og q MA-parametre
Page 116 and 117: 116 Figur 13 Autokorrelasjonsfunksj
Page 118 and 119: 118 Korrelasjonsverdi Vi ser av fig
Page 120 and 121: 120 Aksepter hypotesen om at parame
Page 122 and 123: Residualer 0.4 0.3 0.2 0.1 122 0 -0
Page 124 and 125: 124 Referanser 1 Stordahl, K, Hjelk
Page 126 and 127: Tabell 1 Volum tellerskritt, abonne
Page 128 and 129: 128 Tabell 3a Prognose fra modell b
Page 134 and 135: 001.18:621.39 134 Prognoser for abo
Page 136 and 137: 136 Tabell 3 Analyse av støyledden
Page 138 and 139: 138 Tabell 5 Utskrift av prognosepr
Page 140 and 141: vi ikke diskutere her. Poenget er
Page 142 and 143:
142 prognosen. Da “beskjæres”
Page 144 and 145:
144 7 Stordahl, K. Prognosemetoder:
Page 146 and 147:
Tabell 1 Oversikt over takstklassen
Page 148 and 149:
148 Tabell 5 Antall samtalesekunder
Page 150 and 151:
150 a) (x1000) 45 35 25 15 5 (x1000
Page 152 and 153:
152 Tabell 8 viser de avleste telle
Page 154 and 155:
154 Tabell 11 Komplett datasett med
Page 156 and 157:
001.18:621.39 156 Prognoser for nye
Page 158 and 159:
158 3.1 Vurderinger av foreliggende
Page 160 and 161:
160 passer utmerket, med relativt l
Page 162 and 163:
2B+D aksesser (x1000) 7 6 5 4 3 2 1
Page 164 and 165:
164 (x1000) 10 8 6 4 2 0 Tabell 6 I
Page 166 and 167:
001.18:621.39 166 Prognoser for pri
Page 168 and 169:
168 der ˆσ β* = ˆσ = ˆy t =
Page 170 and 171:
n r (t) 90 % 10 170 1,00 0,80 0,60
Page 172 and 173:
ønsker å benytte disse metodene f
Page 174 and 175:
174 Remote router/ Bridge hand, the
Page 176 and 177:
176 Figure 5 ATM cell Bridge 48 byt
Page 178 and 179:
178 DTE less than 2 Mbit/s, Frame R
Page 180 and 181:
180 References 1 Mannsåker, B et a
Page 182 and 183:
182 Table of contents page Introduc
Page 184 and 185:
006 621.391 184 Signal processing B
Page 186 and 187:
006:681.324 006:681.327.8 186 Data
Page 188 and 189:
006 621.39 188 Teletraffic and dime
Page 190 and 191:
190 contractor. The project had a b
Page 192 and 193:
Table 2 ITU Recommendations for con
Page 194 and 195:
006 654.01:65 194 Telecommunication
Page 196 and 197:
006 196 Introduction EURESCOM is an
Page 198:
198 Intelligent networks 26 % Infra
show all

Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?