Prognosemetoder – en oversikt - Telenor

42
y
y t+1
^ µ t+1
^ ^
µ t +β t
^
µ t
t t +1
Figur 10.3 Relasjon mellom størrelser i Holts modeller
ive integrerte glidende gjennomsnittsmodeller).
I 1920-årene utviklet G U Yule de autoregressive
modeller. Senere kom glidende
gjennomsnittsmodeller. Det å sette
disse modellene sammen til en mer fleksibel
modelltype ble så gjort, men det
viste seg vanskelig å anvende modelltypen.
Gjennombruddet kom på slutten
av 1960-tallet med arbeidene til Box og
Jenkins som i boken Time Series Analysis,
Forecasting and Control [6] gav en
enhetlig matematisk/ statistisk ramme for
modellene. Metoden de utviklet er kalt
Box-Jenkins metode, og den er en effektiv
og praktisk prosedyre for å anvende
ARIMA-modellene i prognosesammenheng.
Et av de viktigste elementene i
arbeidet til Box og Jenkins er utviklingen
av metoder til å identifisere den ARIMAmodell
som gir best tilpasning til de gitte
observasjoner, samt tester for å evaluere
hvorvidt tilpasningen er tilfredsstillende.
Ved bruk av ARIMA-modeller kan forholdvis
kompliserte tidsrekker modelleres
ved bruk av få parametere. Dette er
også et viktig prinsipp i statistisk teori
(The principle of parcimony): å benytte
så få parametere som mulig, men ha en
akseptabel tilpasning. Med andre ord,
ingen overparametrisering i modellene.
ARIMA-modellene, som kun er basert på
tidsrekkens tidligere observasjoner, er
spesielt velegnet til å modellere sesongmessige
variasjoner. Modellene brukes til
å lage prognoser på kort og middels sikt.
Dersom det skal lages langsiktige prognoser,
kan det brukes andre modelltyper;
eventuelt kan det brukes Transfermod-
(y t+1 )
^
(µ t+1 )
^ ^
(µ t +β t )
^
βt ^
µ t
eller. Disse modellene er en
utvidelse av ARIMA-modellene,
hvor det inkluderes forklaringsvariable
i tillegg til selve tidsrekken.
Av tidligere arbeid på dette feltet
i Televerket henvises det til:
[27], [28], [29] og [30].
Av annen litteratur på området
henvises det til: [6], [10], [31],
[32].
I det følgende ses det på
hovedelementene i en ARIMAmodell.
11.1 Autoregressiv modell
Autoregressiv er sammensatt av
auto, som betyr selv, og
regressiv, som betyr tilbakegående. En
autoregressiv modell er en beskrivelse av
en tidsrekke som uttrykker den siste
observasjonen som en veiet sum av de
forutgående observasjonene. Vi antar her
at antall forutgående observasjoner som
det er nødvendig å ta med er p.
Den autoregressive modellen er gitt ved:
yt = ϕ1yt-1 + ϕ2 yt-2 + ...
+ ϕp yt-p + at Her er:
- {ϕ} parametere i modellen
- {a} støyledd i modellen.
(11.1)
Her er det parametrene i modellen som
angir hvor stor vekt som skal legges på
de enkelte observasjoner. Denne modellen
betegnes også som AR(p) modell
fordi det er en autoregressiv modell med
p parametere.
Støyleddet betegnes her med a og skiller
seg noe fra støyleddbetegnelse i andre
modeller. Det forutsettes at støyleddet har
forventning lik 0, at støyleddene er uavhengige
og har konstant varians og at de
gjerne er normalfordelt. Dette er de
samme forutsetninger som er angitt i
kapittel 7. Støyleddene kan da betegnes
som hvit støy.
11.2 Glidende gjennomsnittsmodell
Dette er en modell som er dual til den
autoregressive modell. I en glidende
gjennomsnittsmodell uttrykkes siste
observasjon som en veiet sum av tidligere
støyledd. Det forutsettes at antall
støyledd som det er nødvendig å ta med,
er q. Modellen betegnes da som MA(q)
modell og er gitt ved:
yt = at - θ1 at-1 - θ2 at-2 - ... - θq at q (11.2)
Her er:
- {θ} parametere i modellen.
Etter at antall parametere i modellen er
bestemt og når verdien på parametrene er
estimert, er modellen bestemt.
11.3 Den sammensatte modell
Den sammensatte modell kombinerer den
autoregressive modell og glidende gjennomsnittsmodell.
Fordelen ved denne
modellen er at en med få parametere kan
beskrive situasjonen der modell med
autoregressive eller med glidende gjennomsnittsmodeller
krever et stort antall
parametere. Dermed begrenses antall
parametere i modellen. Den sammensatte
med p autoregressive parametere og q
glidende gjennomsnittsparametere
betegnes som ARMA(p,q) og er gitt ved:
yt = ϕ1 yt-1 + ϕ2 yt-2 + ... + ϕp yt-p + at - θ1 at-1 - ... - θq at-q (11.3)
Vanligvis vil størrelsen på p og q ikke
overstige 2.
11.4 Sesongmodeller
Mange tidsrekker har sesongvariasjoner.
En tidsrekke som eksempelvis angir
månedlig etterspørsel, vil naturlig ha
sesongvariasjoner, og da med en periode
på 12. Ved å studere etterspørselen ved
tidspunkt t, vil vi finne at det er en sterk
korrelasjon mellom etterspørselen ved
tidspunkt t, t-12, t-24, ..., etc. Dette betyr
eksempelvis at sesongutslaget i februar
ett år vil være korrelert med sesongutslaget
februar året før etc.
En autoregressiv modell som reflekterer
noe av denne avhengighetsstrukturen, er:
yt = ϕ12 yt-12 + ϕ24 yt-24 + ... + at (11.4)
Hvis det er nødvendig å ta med mange
parametere i den autoregressive modellen,
kan det være aktuelt å ta med noen
glidende gjennomsnittsledd for å redusere
antall parametere. Vi vil da ha en
sammensatt modell på sesongbasis.
Denne modellen vil da kunne beskrives
på analog måte med modellen i likning
(11.3), men med tidsavstand 12.
I de fleste tilfelle vil det ikke bare være
avhengighet mellom etterspørselen i
samme måned i påfølgende år, men også